2015　帯広畜産大学　前期総合問題MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n={\log }_2{a}_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．

問１　$a_2=16\text{，}{b}_3=2$とする．

(1)　$r\text{，}a$の値を求めなさい．

(2)　$b_5\text{，}{S}_5$の値を求めなさい．

(3)　不等式$S_n\geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．

問２　$a=2^{32}\text{，}{\displaystyle \frac{a}{r}}=2^{35}$とする．

(1)　$r\text{，}{a}_{10}$の値を求めなさい．

(2)　$S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．

(3)　不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．

問３　$x>-2\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{3\pi }{7}}\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{14}}$とする．

(1)　次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．

$a=x+2\text{，}r=x+3\text{，}{b}_2=1+{\log }_2(x+8)$

(2)　${\log }_{2}a={\cos }^2\beta +\sin \beta \cos \theta \text{，}{\log }_{2}r={\sin }^2\beta +\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．

(3)　${\log }_{2}a={\sin }^2\theta +\cos \beta \cos \theta \text{，}{\log }_2{r}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2\theta -\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．

【２】　関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$を用いて，関数$g(x)$が

$g(x)=\{\begin{array}{ll}-a{x}^2+1& (x<{\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{a}})\\ f(x)& (x\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{a}})\end{array}$

で定義されている．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．

問１　関数$f(x)$の導関数を求めなさい．

問２　曲線$C_1\text{：}y=f(x)$は点$({\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{a}},0)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2\sqrt{a}$であるとする．

(1)　$b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．

(2)　関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．

問３　曲線$C_2\text{：}y=g(x)$は$2$点$\{2,-1)\text{，}(3,0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L\text{：}y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1\text{，}0\leqq t\leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．

(1)　$b\text{，}c$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$S(t)$の最小値を求めなさい．

(3)　$S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．