2015　北見工業大学　後期MathJax

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$y=\log (\cos x)$の導関数は$y^{\prime }=\boxed{\text{(ⅰ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　$x$の$2$次方程式$x^2-2(m+1)x+m^2-1=0$を考える．これが異なる$2$つの正の実数解を持つための$m$の条件は$\boxed{\text{(ⅱ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$を考え，線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{(ⅲ)}}$となる．

　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=2\text{，}$$\angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=\boxed{\text{(ⅳ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　$\left|a\right|<1$とする．${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}^n={\displaystyle \frac{1}{2015}}$のとき$a=\boxed{\text{(ⅴ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+{\displaystyle \frac{1}{n+3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}})=\boxed{\text{(ⅵ)}}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　$\mathrm{KITAMI}$の$6$文字の全てを用いて作る順列を考える．異なる順列の総数は$\boxed{\text{(ⅶ)}}$であり，$\mathrm{I}$が隣り合わないような順列の総数は$\boxed{\text{(ⅷ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　${\displaystyle \int }{x}^2{e}^{x}dx=\boxed{\text{(ⅸ)}}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$であるとき，$\sin \theta -\cos \theta =\boxed{\text{(ⅹ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　$\overrightarrow{a}=(\cos t,\sin t,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(\sin 2t,\cos 2t,-1)$とする．$t$が実数全体を動くとき，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値は$\boxed{\text{(ⅺ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅻ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　$x(x-1)+y(y-1)=0$は「$(x=0\text{または}x=1)\text{かつ}(y=0\text{または}y=1)$」であるための$\boxed{\text{(ⅻ)}}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=-x^2+1$の$x=a$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$a\ne 0$とする．$x$軸，$y$軸および(1)の接線で囲まれる部分の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$S(a)$の最小値を求めよ．

【３】　連続な関数$f(x)$について以下の問いに答えよ．

(1)　三角関数の加法定理を用いて次の$2$つの等式を示せ．

$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^x}f(y)\sin (x-y)dy& ={\displaystyle {\int }_0^x}f(y)\cos (x-y)dy\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{d^2}{{dx}^2}}{\displaystyle {\int }_0^x}f(y)\sin (x-y)dy& =f(x)-{\displaystyle {\int }_0^x}f(y)\sin (x-y)dy\end{array}$

(2)　関数$f(x)$は次の等式

$f(x)-{\displaystyle {\int }_0^x}f(y)\sin (x-y)dy=x\sin x$

を満たしているとする．$f(0)$および$f^{\prime }(0)$の値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$が(2)の等式をみたすとき，$f^{″}(x)$および$f(x)$を求めよ．

【４】　以下の文を読み，その中にある問１，問２，問３に答えよ．

　$2$つの自然数が互いに素であるとは，それらの最大公約数が$1$となることである．言いかえると，共通の約数で$2$以上のものを持たない，ということである．

　次の定理が成り立つ．

例えば$p=4\text{，}q=9$の場合，これらの最大公約数は$1$なので，これらは互いに素である．$m=-2\text{，}n=1$とすると，

$mp+nq=(-2)\cdot 4+1\cdot 9=-8+9=1$

とできる．$m=7\text{，}n=-3$としても，

$mp+nq=7\cdot 4+(-3)\cdot 9=28-27=1$

とできる．また$p=8\text{．}q=21$の場合を見てみると，これらはやはり互いに素であり，$m=8\text{，}n=-3$とすれば，

$mp+nq=8\cdot 8+(-3)\cdot 21=64-63=1$

とできる．さて，この定理を証明してみよう．

証明：この定理が主張しているのは，$p$のある整数倍と$q$のある整数倍との和が$1$になるようにできる，ということである．そこで，$p$の整数倍と$q$の整数倍との和として表される整数を全て集めた集合を$\mathrm{A}$として，$\mathrm{A}$の中に$1$があるのか，という問題に置きかえてみよう．具体的には，$\mathrm{A}$は，$m$と$n$を整数として，$mp+nq$という形の整数全体の集合であり，もし$\mathrm{A}$の中に$1$が含まれているならば，$1$は$p$の整数倍と$q$の整数倍の和として表されるということになるので，定理が成り立つことになる．従って，この定理を証明するためには，$\mathrm{A}$の中に$1$が含まれていることを証明すれはよい．

　これを背理法で証明しよう．すなわち，$\mathrm{A}$の中に$1$が含まれていないと仮定して，矛盾が生じるということを示すのである．

　さて，$mp=m\cdot p+0\cdot q\text{，}nq=0\cdot p+n\cdot q$なので，$p$や$q$の整数倍は必ず$\mathrm{A}$に含まれる．特に

ということに注意しよう．

　「$\mathrm{A}$の中には$1$はない」と仮定したので$w\geqq 2$である．$w$は$\mathrm{A}$に含まれるので，$p$の整数倍と$q$の整数倍の和として表されている．つまり，ある整数$a$と$b$があって

となっている．

　$w$の整数倍となっている整数，すなわち，$w$の倍数全体の集合を$\mathrm{B}$と表すことにしよう．具体的には，$k$を整数としたとき，$kw$という形の整数の集まりが$\mathrm{B}$である．

$\mathrm{B}=\{\cdots ,-3w,-2w,-w,0,w,2w,3w,\cdots \}$

と各戸わかりやすいかもしれない．次の命題が成り立つ．

　この命題から，集合$\mathrm{B}$は集合$\mathrm{A}$に含まれていることがわかったわけだが，その場合，次の$2$つの場合のどちらかが成り立つ．

(1)　$\mathrm{A}=\mathrm{B}$である．すなわち，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は同じ集合である．

(2)　$\mathrm{A}$の中には，$\mathrm{B}$に含まれない整数がある．

　しかし，実は(1)のケースは成り立たない．なぜなら(1)が成り立つとすると，$\mathrm{A}$の中のどんな整数も$w$の倍数になってしまい，$p$と$q$が互いに素であるという仮定に矛盾するからである．

　(1)は成り立たないので，(2)が成り立つ．すなわち，$\mathrm{A}$に含まれる整数で，$w$の倍数でないものがあることになる．そのような整数のひとつを$u$としよう．$-u$も$w$の整数倍ではないので，$u>0$としてよい．すなわち$u$は自然数であるとしてよい．$u$は$w$の倍数ではないので，$u$を$w$で割ったときの余りは$0$ではない．すなわち，$u$を$w$で割ったときの商を$d\text{，}$余りを$r$とすると，$r>0$であり$u=dw+r$となっている．また，$r$は$w$という数で割ったときに出る余りなので$w$よりは真に小さい．すなわち

である．

　$u$は$\mathrm{A}$に含まれているので，$p$の整数倍と$q$の整数倍の和として表されている．すなわち，ある整数$g$と$h$があって$u=gp+hq$となっている．

　$w=ap+bq$であるので，$u=dw+r$にこれらを代入すると，$gp+hq=d(ap+bq)+r$すなわち，

$(g-da)p+(h-db)q=r$

が成り立っている．これは，$r$が$p$の整数倍と$q$の整数倍の和として表されることを示しており，$r$は$\mathrm{A}$に含まれることになって矛盾が生じる．

　$\mathrm{A}$に$1$が含まれないと仮定して矛盾が生じたので，$\mathrm{A}$は$1$を含むことが証明された．すなわち，ある整数$m$と$n$があって$mp+nq=1$となることが示された．