2015　茨城大学　推薦理(数学科)学部小論文MathJax

2015　茨城大学　推薦理(数学科)学部小論文

数学・情報数理コース

易□　並□　難□

(1)　和 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2015}$ は何桁の整数か．ただし， $\log_{10} 2 = 0.3010$ とする．

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易□　並□　難□

(2)　以下の小問(a)〜(c)に答えよ．

(a)　 $f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ とするとき， $\frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ を計算せよ．

(b)　定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$ を求めよ．

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$f (t) = \int_{t}^{t^{2}} {\log (t^{2}) - \log x} d x$

とする．以下の各問に答えよ．ただし，必要ならば $e = 2.71 \dots$ を用いてもよい．

(1)　 $x > e^{2}$ のとき，不等式 $\log x < \sqrt{x}$ を示せ．

(2)　 $t > 1$ のとき，不等式 $\frac{f (t)}{t^{2} - t} < 1$ を示せ．

(3)　極限値 $\lim_{t \to \infty} \frac{f (t)}{t^{2} - t}$ を求めよ．

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(1)　一般に，点 $A$ を中心とする円の外部の点 $P$ からその円に引いた $2$ 本の接線の接点を $P_{1} ， P_{2}$ とするとき， $3$ 点 $P ， P_{1} ， P_{2}$ を通る円は，点 $A$ を通ることを示せ．

(2)　円 $C$ の中心と半径を求めよ．

(3)　曲線 $y = x^{2} - 4 x$ 上の点 $Q (t, t^{2} - 4 t)$ から円 $C$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $Q_{1} ， Q_{2}$ とする． $3$ 点 $Q ， Q_{1} ， Q_{2}$ を通る円の面積 $S (t)$ を求めよ．

(4)　(3)で求めた $S (t)$ の最小値を求めよ．