2015　筑波大学　推薦理工学群応用理工学類MathJax

【問題２　問１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\cos 2x-\cos x|dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}\log (ax+b)dx$（$a\text{，}b$は正の定数）

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x^2+1}dx$

（$x+\sqrt{x^2+1}=t$とおいて，置換積分法を用いよ．）

【問題２　問２】　座標平面上で方程式$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$が表す曲線を考える．これが存在するのは$0\leqq x\leqq 1$かつ$0\leqq y\leqq 1$の範囲内に限られ，そのグラフは，右図のようなものとなる．以下の問いに答えよ．

(1)　この曲線と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(2)　(1)でできた回転体を中空であるとみなして，その中空部分に収まる直円錐の体積の最大値を求めよ．また，その最大となる場合の，直円錐の高さおよび底面の半径も求めよ．体積が最大である直円錐の中心軸は回転体の回転軸と一致すると仮定してかまわない．

【問題３　問１】　複素数$z$と$w$との間には$z={\displaystyle \frac{-w+6}{w-3}}$という関係がある．以下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上で点$w$が点$1$を中心とし半径が$1$の円上を動くとき，複素数平面上で点$z$が描く軌跡を求めよ．また，その概略を図示せよ．

(2)　点$z$が(1)で求めた軌跡上を動くとき，$\left|z\right|$の最大値，最小値を求めよ．また，$\arg z=\theta$とおいて，$\tan \theta$の最大値，最小値を求めよ．これら最大値，最小値を与える$z$の値も記し，それらが表す複素数平面上の点を(1)で描いた図中に書き込め．

【問題３　問２】　次の和を求めよ．必要ならば，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{1}{6}}n(n+1)(2n+1)\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3={\displaystyle \frac{1}{4}}{n}^2{(n+1)}^2$であることを使ってよい．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)$

（等式$k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)=3k(k+1)$が成り立つことを用いよ．）

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)$

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^5$

【問題４　問１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \alpha & \beta \end{array}\right)$について，$AP=PB$が成り立っているものとする．ここで，$\alpha \text{，}\beta$は実数である．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．

(2)　$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．

(3)　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$が$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$と定められている．一般項$x_n\text{，}{y}_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$を求めよ．