2015　東京農工大学　前期MathJax

2015　東京農工大学　前期

易□　並□　難□

【１】　点 $O$ を原点とする座標空間上に $3$ 点 $A (1, - 1, 0) ， B (1, 1, 4) ， C (4, 3, 5)$ をとる．次の問いに答えよ．

❲1❳　平面 $OAB$ に関して点 $C$ と対称な点を $D$ とする．ベクトル $\vec{OD}$ を適当な実数 $s ， t ， u$ を用いて

$\vec{OD} = s \vec{OA} + t \vec{OB} + u \vec{OC}$

と表したとき， $s ， t ， u$ の値を求めよ．

❲2❳　四面体 $OABC$ の体積を求めよ．

❲3❳　点 $O$ と平面 $ABC$ の距離を求めよ．

2015　東京農工大学　前期

易□　並□　難□

【２】　次の問いに答えよ．

❲1❳　 $r$ を $| r | < 1$ である実数とする．自然数 $n$ に対して

$S_{n} = 1 + 2 r + 3 r^{2} + \dots + n r^{n - 1}$

とおく．

$S = \lim_{n \to \infty} S_{n}$

を $r$ の式で表せ．ただし $| r | < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} n r^{n} = 0$ であることを用いてよい．

❲2❳　 $n$ を自然数とする． $2$ 人の弓道部員 $A ， B$ が矢を $\overset{まと}{的}$ に命中させる確率は， $A$ が $\frac{4}{5} ， B$ が $\frac{1}{2}$ である． $A ， B$ が的に向かってそれぞれ $n$ 回ずつ矢を射る．

(1)　 $n = 1$ のとき， $A$ の射る矢が命中する確率を $p_{1}$ とし， $A$ の射る矢が命中せずに $B$ の射る矢が命中する確率を $q_{1}$ とする． $p_{1} + q_{1}$ を求めよ．

(2)　 $n ≧ 2$ のとき， $1$ 回目から $(n - 1)$ 回目まで $A$ の射る矢も $B$ の射る矢も命中せず， $n$ 回目に $A$ の射る矢が命中する確率を $p_{n}$ とする． $p_{n}$ を求めよ．

(3)　 $n ≧ 2$ のとき， $A$ の射る矢は $1$ 回目から $n$ 回目まで命中せず， $B$ の射る矢は $1$ 回目から $(n - 1)$ 回目まで命中せずに $n$ 回目のみ命中する確率を $q_{n}$ とする． $q_{n}$ を求めよ．

❲3❳　❲2❳で求めた $p_{n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ に対して

$E = \sum_{n = 1}^{\infty} (2 n - 1) p_{n}$

とおく． $E$ の値を求めよ．

2015　東京農工大学　前期

易□　並□　難□

【３】　関数 $f (x)$ を

$f (x) = e^{- x} x^{2} (x^{2} + a x + b)$

で定める．ただし， $a ， b$ は実数， $e$ は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

❲1❳　 $f (x)$ の導関数を $f^{'} (x)$ とする． $f (- 1) = 10 e ， f^{'} (1) = 0$ のとき， $a ， b$ の値を求めよ．

❲2❳　 $a ， b$ を❲1❳で求めた値とする．このとき $x ≧ 0$ における $f (x)$ の最大値，最小値を求め，そのときの $x$ の値を求めよ．ただし， $2 < e < 3$ であることを用いてよい．

2015　東京農工大学　前期

易□　並□　難□

【４】　 $f (x) = \cos x + \sin x - 1$ とする． $g (x)$ は

$g (x) = | f (x) | - \frac{1}{4 π^{2}} {\int_{0}^{2 π} t g (t) d t - 3 π}$

を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．

❲1❳　区間 $0 ≦ x ≦ 2 π$ において $f (x) > 0$ を満たす $x$ の範囲を求めよ．ただし答えのみでよい．

❲2❳　不定積分 $\int x f (x) d x$ を求めよ．

❲3❳　定積分 $\int_{0}^{2 π} t | f (t) | d t$ の値を求めよ．

❲4❳　 $g (x)$ を求めよ．