2015　一橋大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の整数とする．$n$以下の正の整数のうち，$n$との最大公約数が$1$となるものの個数を$E(n)$で表す．たとえば

$E(2)=1\text{，}E(3)=2\text{，}E(4)=2\text{，}\cdots \text{，}E(10)=4\text{，}\cdots$

である．

(1)　$E(1024)$を求めよ．

(2)　$E(2015)$を求めよ．

(3)　$m$を正の整数とし，$p$と$q$を異なる素数とする．$n=p^m{q}^m$のとき${\displaystyle \frac{E(n)}{n}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$が成り立つことを示せ．

【２】　座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,b)$および点$\mathrm{C}$が

$\mathrm{OC}=1\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$

を満たしながら動く．

(1)　$s=a^2+b^2\text{，}t=ab$とする．$s$と$t$の関係を表す等式を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$n$を$4$以上の整数とする．正$n$角形の$2$つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線を$l$とする．さらに，残りの$n-2$個の頂点から$2$つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線を$m$とする．直線$l$と$m$が平行になる確率を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，原点を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{P}$が動き，点$(0,0,\sqrt{3})$を中心とする$xz$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{Q}$が動く．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【５】　数列$\{a_k\}$を$a_k=k+\cos \left({\displaystyle \frac{k\pi }{6}}\right)$で定める．$n$を正の整数とする．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{12n}}{a}_k$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{12n}}{a_k}^2$を求めよ．

【６】　$a\text{，}b\text{，}c$は異なる$3$つの正の整数とする．次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである．

科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値は等しいとする．

(1)　科目$\mathrm{X}$の得点の分散を${s_{\mathrm{X}}}^2\text{，}$科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を${s_{\mathrm{Y}}}^2$とする．${\displaystyle \frac{{s_{\mathrm{X}}}^2}{{s_{\mathrm{Y}}}^2}}$を求めよ．

(2)　科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を，四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

(3)　科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65\text{，}$科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．