2015　東京海洋大学　前期海洋科学部MathJax

【１】　$a\geqq 0$とするとき，$3$次関数$f(x)=x^3-3ax+a$について，次の問に答えよ．

(1)　$a=1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$0\leqq x\leqq 2$において，$f(x)\geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　等式

$f(x)+{\displaystyle {\int }_1^2}(x-kt)f(t)dt=17x-28\cdots$(＊)

について，次の問に答えよ．

(1)　$k=1$のとき，(＊)を満たす関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$k={\displaystyle \frac{30}{17}}$のとき，(＊)を満たす関数$f(x)$に対して，$y=f(x)$のグラフは常にある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

【３】　$20$枚のカードに$1$から$20$までの自然数が$1$つずつ書かれている．この中からカードを$3$枚同時に取り出すとき，次の問に答えよ．

(1)　$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．

(2)　$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の和が$3$の倍数となる確率を求めよ．

(3)　$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の最小公倍数が$10$以下になる確率を求めよ．ただし，$2$つ以上の自然数に共通な正の倍数のうちで最小のものを最小公倍数という．

【４】　座標平面上の曲線$y=x^2(1-x)$を$C$とし，直線$y=-x$を$l$とする．数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．$a_1={\displaystyle \frac{2}{5}}$とし，$x=a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$における$C$の接線と$l$の交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$0<a_{n+1}<{a_n}^2$を示せ．

【５】　$a$を実数とする．空間内の$4$点$\mathrm{A}(a,1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,-3,2)\text{，}\mathrm{C}(1,-2,0)\text{，}\mathrm{D}(1,-1,-1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{R}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{QR}$の長さを$a$を用いて表せ．

(2)　$\cos \angle \mathrm{PQR}$の値を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$が実数全体を動くとき，四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．