2015　富山大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\tan {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$の値を求めよ．

(2)　$\sqrt{n}<\tan {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi <\sqrt{n+1}$を満たす自然数$n$を求めよ．

【２】　ひし形$D$の$2$つの対角線の長さを$2a\text{，}2b$とする．$D$と同じ周の長さ，および同じ面積をもつ長方形を$R$とし，その$2$辺の長さを$x\text{，}y\text{（}x\leqq y\text{）}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$D$の周の長さ$s$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$x\text{，}y$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$R$の対角線の長さ$l$と$a+b$の大小を比較せよ．

(4)　$a\text{，}b$が$a=4$を満たしながら動くとき，$l$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3\sin 2x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x+\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$を$t$の関数として表せ．

(3)　$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．

【１】　曲線$C_1\text{：}y=\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と曲線$C_2\text{：}y=2\sin x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考える．曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．関数$f(x)\text{，}g(x)$を$f(x)=x^2+ax+3\text{，}g(x)=f(x)f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\text{（}x\ne 0\text{）}$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\ne 0$のとき，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x\ne 0\text{）}$とするとき，$g(x)$を$a\text{，}t$を用いて表せ．

(3)　$g(x)\text{（}x\ne 0\text{）}$の最小値が負となるような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$f(x)=\log x\text{（}x>0\text{）}$とし，曲線$C_1\text{：}y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線を$l$とする．直線$l$と曲線$C_2\text{：}y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$t$を用いて表せ．

(2)　$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．

【２】　関数$f(x)$は区間$[a,b]$で連続であり，区間$(a,b)$で第$2$次導関数$f^{″}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,b)$で$f^{″}(x)<0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)>{\displaystyle \frac{1}{b-a}}\{(b-x)f(a)+(x-a)f(b)\}\text{（}a<x<b\text{）}$が成り立つことを示せ．

(2)　$c$が$a<c<b$を満たすならば

$f(x)\leqq f^{\prime }(c)(x-c)+f(c)\text{（}a<x<b\text{）}$

が成り立つことを示せ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\sqrt{2}\text{，}\\ a_n>0\text{，}{a_1}^{\frac{1}{n}}{a_2}^{\frac{1}{n}}\cdots {a_{n-1}}^{\frac{1}{n}}{a_n}^{\frac{1}{n}}=8\text{（}n\geqq 2\text{）}\end{array}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\log }_2{a}_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$c_n=a_1{a}_2\cdots a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${10}^k\leqq c_{11}<{10}^{k+1}$となる整数$k$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$は区間$[a,b]$で連続であり，区間$(a,b)$で第$2$次導関数$f^{″}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,b)$で$f^{″}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,f(a))\text{，}(b,f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$について

${\displaystyle \frac{\log j+\log (j+1)}{2}}<{\displaystyle {\int }_j^{j+1}}\log xdx$

が成り立つことを示せ．

(3)　$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$\sqrt{n!(n-1)!}<n^n{e}^{-n+1}$

【３】　「表が出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{），}$裏が出る確率が$1-p$のコインを投げ，数直線上の点$\mathrm{A}$を次の規則(ア)，(イ)にしたがって動かす」という操作を繰り返し行う．ただし，点$\mathrm{A}$は最初は原点にあるものとする．

(ア)　点$\mathrm{A}$が$-1\text{，}0\text{，}1\text{，}2$の何れかにあるときには，コインを投げて表が出れば点$\mathrm{A}$を$+2$だけ移動させ，裏が出れば点$\mathrm{A}$を$-1$だけ移動させる．

(イ)　点$\mathrm{A}$が$-1\text{，}0\text{，}1\text{，}2$以外にあるときには，コインを投げて表が出ても裏が出ても点$\mathrm{A}$を移動させない．

このような操作を$n$回行った後の点$\mathrm{A}$の座標を$x_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　上の操作を$3$回繰り返した後，$x_1\ne 0$かつ$x_2\ne 0$かつ$x_3\ne 0$となる確率を求めよ．

(2)　$k$を自然数とする．$x_{3k}=0$となる確率，$x_{3k+1}=0$となる確率，$x_{3k+2}=0$となる確率をそれぞれ求めよ．

(3)　$k$を自然数とする．$x_{3k-2}\ne x_{3k-1}$かつ$x_{3k-1}=x_{3k}$となる確率を求めよ．

【１】　$m$を実数とする．方程式

$m{x}^2-m{y}^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0\cdots$(＊)

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において，方程式(＊)が表す図形は$2$直線であることを示せ．

(2)　(1)で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．

(3)　$m$が$-1\leqq m\leqq 3$の範囲を動くとき，(1)で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．

【２】　関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3\sin 2x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x+\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$を$t$の関数として表せ．

(3)　$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．