2015　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(3,0)$がある．$a$は定数とし，直線$l$と曲線$C$を

$l\text{：}y=x+a$

$C\text{：}y=\sqrt{1-{(x-2)}^2}\text{（}1<x<3\text{）}$

とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,t)$から直線$x=2$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$s=2$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．

(1)　直線$l$が曲線$C$に接するときの$a$の値と接点の座標を求めよ．

(2)　$2$直線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}$の交点$\mathrm{R}$の座標を$s$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，(2)で定められた点$\mathrm{R}$の描く曲線$K$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C$と(3)で定められた曲線$K$を合わせた図形を$F$とする．直線$l$と図形$F$がただ$1$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】(1)　関数$y=x{e}^{2-x}$の極値を求めよ．

(2)　関数$y=x{e}^{2-x}$のグラフを曲線$C$とする．曲線$C$が上に凸であるような$x$の範囲を求めよ．

(3)　$a>0$とする．定積分

$I_n={\displaystyle {\int }_0^a}{x}^n{e}^{-x}dx\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

について，$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ．

(4)　(3)で定められた定積分$I_n$について，$I_2\text{，}{I}_3$を求めよ．

(5)　(2)で定められた曲線$C$と$x$軸および直線$y=e$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}\mathrm{C}(2,0,1)\text{，}\mathrm{D}(2,0,0)$がある．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$の表面積$S$を求めよ．

(3)　$0<t<2$とする．点$(t,0,0)$を通り$yz$平面に平行な平面によって四面体$\mathrm{ABCD}$を分割する．分割してできた$2$つの立体のうち，点$\mathrm{A}$を含む立体の体積を$W(t)$とおく．$W(t)$の変化率が最大になる$t$の値と，そのときの$W(t)$の値を求めよ．

【４】　自然数$n$に対し，$x$の$n$次式で表された関数$f_n(x)$を

$f_n(\cos \theta )={\displaystyle \frac{\sin (n+1)\theta }{\sin \theta }}\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

を満たすように定める．例えば

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$であるから$f_1(x)=2x$

$\cos 3\theta =\sin \theta (4{\cos }^2\theta -1)$であるから$f_2(x)=4x^2-1$

となる．

(1)　$3$次式$f_3(x)$を求めよ．

(2)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{f}_3(x)\sqrt{1-x^2}dx$を求めよ．

(3)　$k$が自然数のとき，$f_{2k+1}(0)=0$であることを証明せよ．

(4)　$k$が自然数のとき，整式$f_{2k+1}(x)$は整式$f_k(2x^2-1)$で割り切れることを証明せよ．

(5)　$5$次方程式$f_5(x)=0$を解け．