2015　大阪大学　前期専門数学MathJax

【１】　すべての実数$x$に対して定義された関数$f(x)$で，必ずしも連続とは限らないものを考える．いま，$f(x)$がさらに次の性質を持つとする．

$f(x+y)=f(x)+f(y)\text{，}f(xy)=f(x)f(y)\text{，}f(1)=1\text{．}$

このとき，以下を示せ．

(1)　すべての有理数$x$に対して$f(x)=x$である．

(2)　実数$x\text{，}y$について，$x\leqq y$ならば$f(x)\leqq f(y)$である．

(3)　すべての実数$x$に対して$f(x)=x$である．

【２】　数列$\{a_n\}$を$a_n={\displaystyle \frac{n!}{\sqrt{n}{n}^n{e}^{-n}}}$で定める．このとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sqrt{2\pi }$であることを，以下の手順で示せ．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{2^{2n}{(n!)}^2}{\sqrt{n}(2n)!}}$で定める．$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき

${\sin }^{2n+1}x<{\sin }^{2n}x<{\sin }^{2n-1}x\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であることを用いて，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\sqrt{\pi }$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して

$0<\log {\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}<{\displaystyle \frac{100}{n(n+1)}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{a_{2n}}}=1$であることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sqrt{2\pi }$であることを示せ．