Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2015年度一覧へ
大学別一覧へ
大阪教育大学一覧へ
2015-10565-0101
2015 大阪教育大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問に答えよ.
(1) 実数 x , y が x +y=1 を満たすとき,不等式
x2 +y2 ≧ 12
が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.
(2) 実数 x , y ,z が x +y+z =1 を満たすとき,不等式
x2+ y2+ z2≧ 1 3
(3) n は自然数とする.実数 x1 ,x 2 ,⋯ , xn が x1+ x2+ ⋯+x n=1 を満たすとき,不等式
x1 2+ x22 +⋯+ xn2 ≧ 1n
2015-10565-0102
【2】 xy 平面において,ベクトル a→= (1, 3) , b →= (x, y) に対して,
|a →⋅ b→ |≧1 かつ | b→ |≦1
を満たす点 ( x,y ) の領域を D とする.ただし, a→ ⋅b → は a → と b → の内積, |b → | はベクトル b → の長さを表す.以下の問に答えよ.
(1) D を図示せよ.
(2) D の面積を求めよ.
2015-10565-0103
【3】 a ,b は 0 <a< b を満たす定数とし,関数 y =log⁡x のグラフを G とする.点 C が曲線 G 上を点 A ( a,log⁡ a) から点 B ( b,log⁡ b) まで動くとき,点 C から x 軸への垂線と線分 AB との交点を P とし,線分 CP の長さの最大値を L とする.このとき,以下の問に答えよ.ただし, log⁡x は自然対数を表すものとする.
(1) 不等式
a< b -alog ⁡b-log ⁡a <b
が成り立つことを証明せよ.
(2) h= ba とおくとき, L を h を用いて表せ.
(3) 実数 p , q ,r が a <p<b , a<q <b ,a <r<b を満たすとき,不等式
p+q+ r3 <eL ⁢ p⁢ q⁢r 3
が成り立つことを証明せよ.ただし, e は自然対数の底とする.
2015-10565-0104
【4】 関数 f ⁡(x )= log ⁡xx について,以下の問に答えよ.ただし, log⁡x は自然対数を表すものとする.
(1) f⁡( x) が極値をとる x の値はただ 1 つであることを示し,そのときの x の値を求めよ.
(2) (1)で求めた x の値を c とするとき, y=f ⁡(x ) のグラフと x 軸と直線 x =c で囲まれた部分を D で表す. D の面積を求めよ.
(3) (2)で定めた D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.