2015　奈良女子大学　前期

$4(\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}})=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

をみたしているとする．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　線分の長さの比$\mathrm{MP}:\mathrm{NP}$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{PAB}\text{，}\mathrm{PBC}\text{，}\mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S\text{，}T\text{，}U$とする．面積の比$S:T$と$T:U$を求めよ．

❲1❳　$n$枚のカードから$1$枚を取り出す．

❲2❳　取り出されたカードに書かれた数字と同じ個数の赤球と$n$個の白球を袋に入れる．

❲3❳　袋から$1$個の球を取り出す．

このとき，取り出された球が白球である確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$P_1\text{，}{P}_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　定積分を利用して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．

(1)　$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$S_1=S_2$のとき，$a=b$となることを示せ．

(3)　$S_1=S_2$のとき，$f(x)$は奇関数となることを示せ．また，$f(x)$が奇関数のとき，$S_1=S_2$となることを示せ．ただし，$f(x)$が奇関数であるとは，どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである．

(1)　さいころを$1$個投げて出た目を$k$とするとき

$f(k)\leqq 0$

となる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$である$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　さいころを$1$個投げて出た目を$k$とするとき

$f(k)\leqq 0$かつ$g(k)\geqq 0$

となる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$である$a\text{，}b$のとり得る値の範囲を求めよ．

(1)　円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　円$C_1$と円$C_2$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点と点$\mathrm{P}$を頂点とする三角形の面積を$S$とする．以下の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$S$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$S$の最大値を求めよ．

(1)　$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．