2015　鳥取大学　後期工学部MathJax

2015-10661-0201

2015　鳥取大学　後期工学部

易□　並□　難□

【１】　原点を $O$ とする $x y$ 平面において， $x$ 軸上正の部分に点 $A (a, 0)$ が， $y$ 軸上正の部分に点 $C (0, c)$ がある．また，第 $1$ 象限内で三角形 $OAC$ の外側に点 $B$ があり，四角形 $OABC$ の面積を $T$ とする．辺 $AB$ 上の点 $P$ と辺 $BC$ 上の点 $Q$ を，線分 $PQ$ が対角線 $AC$ に平行になるようにとる． $AP : PB = t : 1 - t$ とするとき，三角形 $OPQ$ の面積 $S (t)$ を最大にする $t$ と，そのときの $S (t)$ を $a ， c ， T$ を用いて表せ．ただし， $0 ≦ t < 1$ とし， $t = 0$ のとき点 $P$ は点 $A$ に一致するものとする．

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【２】　以下の式で定義される数式の列 ${f_{n} (x)} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ について，次の問いに答えよ．

$\begin{matrix} f_{1} (x) & = \frac{1}{2} x + 2 \\ x^{2} f_{n + 1} (x) & = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + \int_{0}^{x} t f_{n} (t) d t & （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ） \end{matrix}$

(1)　 $f_{2} (x) ， f_{3} (x)$ を求めよ．

(2)　数学的帰納法を用いて， $f_{n} (x)$ は $x$ の $1$ 次式であることを示せ．

(3)　 $f_{n} (x)$ を求めよ．

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【３】　関数 $y = 4 (\sin^{3} θ + \cos^{3} θ) + 3 (\sin θ + \cos θ)$ に対して， $x = \sin θ + \cos θ$ とおく．次の問いに答えよ．

(1)　 $y$ を $x$ の関数で表せ．

(2)　 $0 ≦ θ ≦ π$ のとき， $x$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　 $0 ≦ θ ≦ π$ のとき，関数 $y$ の最大値と最小値，およびそのときの $θ$ の値を求めよ．

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【４】　原点を $O$ とする $x y$ 平面において， $y$ 軸上の定点を $Q (0, a) ， x$ 軸上の正の部分を動く点を $P (t, 0) ，$ また三角形 $OPQ$ において $∠ OQP = θ$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし， $a > 0$ とする．

(1)　点 $P$ の $x$ 座標 $t$ を， $a$ および $θ$ を用いて表せ．

(2)　積分 $I (t) = \int_{0}^{t} \frac{d x}{a^{2} + x^{2}}$ を $a$ および $θ$ を用いて表せ．

(3)　 $\lim_{t \to \infty} I (t)$ を求めよ．

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