2015　島根大学　推薦I総合理工（数理・情報システム　情報系コース）学部MathJax

2015-10681-0501

2015　島根大学　推薦I総合理工（数理・情報システム　情報系コース）学部

易□　並□　難□

【２】　自然数全体の集合を $N$ とする．すなわち $N = {1, 2, 3, 4, \dots}$ である．いま， $a \in N ， b \in N$ として， $a$ が $b$ を割り切るとき $a | b$ と書く．すなわち $a | b$ とは， $b = a \times k$ となる自然数 $k$ が存在することである．

　ここで自然数の組 $(a, b)$ において， $a | b$ または $b | a$ が成り立つときに $(a, b) \in R$ となる集合 $R$ を定義する．すなわち $R$ は $a | b$ または $b | a$ であるすべての自然数の組 $(a, b)$ を要素とする集合である．このとき，以下の問に答えよ．

(a)　 $(8, x) \in R$ となる自然数 $x$ を小さいものから $5$ つ求めよ．

(b)　すべての自然数 $a$ について， $a | a$ であることから， $(a, a) \in R$ であることは明らかである．それでは「 $(a, b) \in R$ であれば，かならず $(b, a) \in R$ である」という主張は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例をあげよ．

(c)　「 $(a, b) \in R$ かつ $(b, c) \in R$ であれば，かならず $(a, c) \in R$ である」という主張は正しいか．正しければそれを証明し，正しくなければ反例をあげよ．

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易□　並□　難□

【３】　以下の問いに答えよ．

(a)　 $0$ 以上の整数 $x$ から自然数への関数 $f$ を次のように定義する．

$f (x) = {\begin{cases} 1 & （ x = 0 のとき） \\ x \times f (x - 1) & （ x > 0 のとき） \end{cases}$

1)　 $f (4)$ の値を求めよ．ただし，計算過程も詳しく述べよ．

2)　次の式の空欄を $f$ を使わずに適切な数式で埋めよ．

$f (x) =$

(b)　自然数 $x$ と $0$ 以上の整数 $y$ から自然数への関数 $g$ を次のように定義する．

$g (x, y) = {\begin{cases} 1 & （ y = 0 のとき） \\ x \times g (x, y - 1) & （ y > 0 のとき） \end{cases}$

1)　 $g (4, 3)$ の値を求めよ．ただし，計算過程も詳しく述べよ．

2)　次の式の空欄を $g$ を使わずに適切な数式で埋めよ．

$g (x, y) =$

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易□　並□　難□

2015年島根大推薦総合理工学部（数理・情報システム学科情報系コース）【４】2015106810503の図

【４】　 $n$ 個の整数を並べた数列 $A$ に対して，右図に示すフローチャート（流れ図）による処理を行うことを考える．フローチャート内の $i ， j$ は変数であり， $A (j)$ は，数列 $A$ 内で並んでいる整数のうち，前から $j$ 番目（ $1 ≦ j ≦ n$ ）にあるものを表す．例えば， $(7, 10, 2, 5)$ は， $4$ つの整数を含む数列であり， $A (1) = 7 ， A (2) = 10$ である．

　このとき，以下の問に答えよ．

(a)　数列 $A$ を $(7, 10, 2, 5)$ とした場合，全ての処理が終了した時点で数列 $A$ がどのようになるか示せ．

(b)　このフローチャートは，数列 $A$ に対してどのような処理を行うものか $30$ 字以内で述べよ．

(c)　数列 $A$ を $(7, 10, 2, 5)$ とした場合，フローチャート内の＊印を付した数値の大小比較は，全ての処理が終了するまでに何回行われるか示せ．

(d)　(c)の大小比較の回数は，数列に含まれる整数が $n$ 個の場合にどのような数式で表現されるか示せ．