2015　岡山大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．

(1)　用意したカードは全部で何枚か答えよ．

(2)　引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．

(3)　引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．

(4)　引いたカード$2$枚の番号が異なっている確率を$p_n$とする．不等式$p_n\geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$の値を求めよ．

【２】　$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=7$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}=x$となるようにとる．ただし，$0<x<3$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$x$の式で表せ．

(3)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最小となるときの$x$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は，関係式

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_{n+1}$と$b_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，上に凸であり，原点および点$\mathrm{Q}(a,0)$を通るものとする．ただし，$0<a<1$である．関数$y=x^2$のグラフを$C\text{，}$関数$y=f(x)$のグラフを$D$とし，$C$と$D$の共有点のうち，原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m\text{，}D$の接線の傾きを$n$とするとき

$(2a-1)m=2an$

が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$x$と$a$の式で表せ．

(2)　$0\leqq x\leqq a$の範囲で，曲線$D$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．

(3)　(2)で求めた$S(a)$の$0<a<1$における最大値を求めよ．

【１】　$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．

(1)　用意したカードは全部で何枚か答えよ．

(2)　引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．

(3)　引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．

(4)　引いたカード$2$枚の番号が連続している確率（すなわち，$2$つの番号の差の絶対値が$1$である確率）を$n$の式で表せ．

【２】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$をとり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$0$になるような点$\mathrm{P}(x,y,z)$の集合を$S$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．

(3)　(1)で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．

(4)　(1)で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$l$とする．球面$S$と直線$l$のすべての共有点について，その座標を求めよ．

【３】　自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，関数$f_n(x)=x^{n+1}(1-x)$を考える．

(1)　曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき，$a_n$を$n$の式で表せ．ただし，$a_n>0$とする．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする．また，(1)で求めた$a_n$に対して，$0\leqq x\leqq a_n$の範囲で，曲線$y=f_n(x)\text{，}x$軸，および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする．$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ．

(3)　(2)で求めた$B_n$および$C_n$に対して，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{C_n}{B_n}}$を求めよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい．

【４】　空間内の$8$点

$(0,0,0)\text{，}(1,0,0)\text{，}(1,1,0)\text{，}(0,1,0)\text{，}(0,0,1)\text{，}(1,0,1)\text{，}(1,1,1)\text{，}(0,1,1)$

を頂点とする立方体を考える．$0<t<3$のとき，$3$点$(t,0,0)\text{，}(0,t,0)\text{，}(0,0,t)$を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を$f(t)$とし，$f(0)=f(3)=0$とする．関数$f(t)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq t\leqq 3$のとき，$f(t)$を$t$の式で表せ．

(2)　関数$f(t)$の$0\leqq t\leqq 3$における最大値を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}f(t)dt$の値を求めよ．