2015　広島大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$a<1$とする．座標平面上の$2$曲線

$C_1\text{：}y=x^2-x\text{，}{C}_2\text{：}y=x^3+b{x}^2+cx-a$

を考える．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{P}(1,0)$と，それとは異なる点$\mathrm{Q}$を通る．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線の傾きは等しいものとする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線を$l_2\text{，}$点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$l_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$b\text{，}c$および点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$が三角形をつくらないような$a$の値を求めよ．

(3)　$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$が直角三角形をつくるような$a$の値の個数を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，$p_n\text{，}{q}_n$を実数とする．ただし，$p_1\text{，}{q}_1$は${p_1}^2-4q_1=4$を満たすとする．$2$次方程式$x^2-p_{n}x+q_n=0$は異なる実数解${\alpha }_n\text{，}{\beta }_n$をもつとする．ただし，${\alpha }_n<{\beta }_n$とする．$c_n={\beta }_n-{\alpha }_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$は

${\displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_n}}={\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$r_n={\log }_2(n\sqrt{n}+\sqrt{n})$とするとき，${\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}}$を$r_n\text{，}{r}_{n+1}$を用いて表せ．

(2)　$c_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$p_n=n\sqrt{n}$であるとき，$q_n$を$n$の式で表せ．

【３】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1)$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．点$\mathrm{C}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$$0\mathrm{°}<\angle \mathrm{AOC}<90\mathrm{°}\text{，}$$0\mathrm{°}<\angle \mathrm{BOC}<90\mathrm{°}$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{OA}$に引いた垂線と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D}$は(2)で定めた点とする．このとき，$▵\mathrm{OBD}$と$▵\mathrm{CDE}$の面積の和を$t$を用いて表せ．

【４】　$\alpha \text{，}\beta$は$\alpha >0\text{，}\beta >0\text{，}\alpha +\beta <1$を満たす実数とする．三つの放物線

$C_1\text{：}y=x(1-x)\text{，}{C}_2\text{：}y=x(1-\beta -x)\text{，}{C}_3\text{：}y=(x-\alpha )(1-x)$

を考える．$C_2$と$C_3$の交点の$x$座標を$\gamma$とする．また，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\gamma$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　$S$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$が$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たしながら動くとき，$S$の最大値を求めよ．

【５】　$n$を自然数とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の$5$人が$1$個のボールをパスし続ける．最初に$\mathrm{A}$がボールを持っていて，$\mathrm{A}$は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，以後同様にパスを続ける．$n$回パスしたとき，$\mathrm{B}$がボールを持っている確率を$p_n$とする．ここで，たとえば，$\mathrm{A}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}\to \mathrm{E}$の順にボールをパスすれば，$4$回パスしたと考える．次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}{p}_4$を求めよ．

(2)　$p_n$を求めよ．

【１】　座標平面上の点$\mathrm{P}(1,1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$y={\displaystyle \frac{k}{x}}\text{（}x>0\text{）}$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$k\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．

(2)　曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}\text{，}\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$x=1+\sqrt{2}\sin \theta$とおくことにより，定積分${\displaystyle {\int }_r^q}\sqrt{2-{(x-1)}^2}dx$の値を求めよ．

(4)　円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【２】　座標平面上の放物線

$C_n\text{：}y=x^2-p_{n}x+q_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．ただし，$p_n\text{，}{q}_n$は

${p_1}^2-4q_1=4\text{，}{p_n}^2-4q_n>0\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす実数とする．$C_n$と$x$軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを$l_n$とする．また，$C_n$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$は

${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}={\left({\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}}\right)}^3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$C_n$の頂点の$y$座標を$l_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$p_n=n\sqrt{n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n\log (-{\displaystyle \frac{2q_n}{n^2}})$を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

【３】　座標空間内に$5$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,0,{\displaystyle \frac{3}{4}})\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{1}{2}},0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}\mathrm{C}(s,t,0)\text{，}\mathrm{D}(0,u,0)$

がある．ただし，$s\text{，}t\text{，}u$は実数で，$s>0\text{，}t>0\text{，}s+t=1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面が$y$軸と点$\mathrm{D}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．

(2)　$u$を$t$を用いて表せ．また，$0<u<1$であることを示せ．

(3)　点$(0,1,0)$を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{OE}$を$12:1$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}p$は$a>0\text{，}b>0\text{，}p<0$を満たす実数とする．座標平面上の$2$曲線

$C_1\text{：}y=e^x\text{，}{C}_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$と$C_2$が点$(p,e^p)$を共有し，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p$を$a$を用いて表せ．

(2)　$\underset{a\to \infty }{\lim }(p+a)$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b^2{e}^{2a}}{a}}$を求めよ．

【５】　$m\text{，}n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$m\geqq 2\text{，}n\geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．

(2)　$n\geqq 3$とする．$3$種類の文字$a\text{，}b\text{，}c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a\text{，}b\text{，}c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．

(3)　$n\geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．

　たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は

$\{(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})\}\text{，}\{(\mathrm{A},\mathrm{B}),(\mathrm{C})\}\text{，}\{(\mathrm{A},\mathrm{C}),(\mathrm{B})\}\text{，}$

$\{(\mathrm{B},\mathrm{C}),(\mathrm{A})\}\text{，}\{(\mathrm{A}),(\mathrm{B}),(\mathrm{C})\}$

の$5$通りであるので，$p_3={\displaystyle \frac{3}{5}}$である．

(4)　(3)の確率$p_n$が${\displaystyle \frac{1}{3}}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．