2015　広島大学　後期

【１】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$

に対し，次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，必要なら$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=a\text{（}a>1\text{）}$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{e^{2a}}}$を求めよ．

【２】　$s\text{，}t$は正の実数で，$s+t=1$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$を$s:t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心と三角形$\mathrm{LMN}$の重心が一致することを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{OL}}\right|\geqq \left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|$ならば，$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|\leqq \left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|$であることを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の外心と三角形$\mathrm{LMN}$の外心が一致するならば，三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．

【３】　自然数$n$に対し，

$P_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\text{，}{Q}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^5$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$P_n$を$3$で割った余りは$0$または$1$になることを示せ．

(2)　${P_{n+1}}^2-{P_n}^2$および$4({P_{n+1}}^3-{P_n}^3)$がともに${(n+1)}^3$で割り切れることを示せ．

(3)　$Q_n={\displaystyle \frac{4{P_n}^3-{P_n}^2}{3}}$を示せ．

(4)　$Q_n$は$P_n$で割り切れることを示せ．

【４】　箱に赤玉が$3$個，白玉が$2$個入っている．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人に対して，次の試行を繰り返す．

$\mathrm{A}$が獲得した合計点と$\mathrm{B}$が獲得した合計点の差が$2$点以上になったところでやめて，合計点の多い方を勝ちとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$回以下の試行で$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(2)　$3$回以下の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．$3n$回目に$\mathrm{A}$が獲得した合計点と$\mathrm{B}$が獲得した合計点の差が$0$になる確率を求めよ．

(4)　$3n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　空間内に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があるとき，$▵\mathrm{OAB}$の面積$S$は

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})}^2}$

で与えられていることを示せ．

(2)　空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,0,-1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,2,0)$が与えられている．$\mathrm{O}$は原点とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む平面に対し，$\mathrm{C}$からおろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【２】　赤と青のさいころを同時に振って，出た目をそれぞれ$r\text{，}b$とする．この$r\text{，}b$に対して次の$2$つの方程式を考える．

$x^2-rx+b=0\cdots$(A)

$x^3-rx+2b=0\cdots$(B)

以下の問いに答えよ．

(1)　方程式(A)が実数解を持たない確率を求めよ．

(2)　方程式(A)が整数解を持つ確率を求めよ．

(3)　方程式(B)が$2$つ以上の実数解を持つ確率を求めよ．

【３】　平面上の曲線

${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$

を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の足を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{PR}$と$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

(3)　$x$軸と$y$軸および$C$で囲まれる図形を考える．この図形は線分$\mathrm{PQ}$で$2$つに分割されるが，右側の図形と左側の図形のいずれの面積が大きいか．また，その面積の差を求めよ．

【４】　$\alpha >1\text{，}\beta >0\text{，}\gamma ={\alpha }^2+1$とする．座標平面において点$\mathrm{A}(\gamma ,{\displaystyle \frac{\gamma }{\alpha }})$を中心とする円$C_1$と点$\mathrm{B}$を中心とする円$C_2$を考える．ただし，$C_1$は$x$軸に接し，$C_2$は点$\mathrm{Q}$で$y$軸に接し，$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．$C_1$と$C_2$がともに点$\mathrm{P}$で直線$y=\beta x$に接するとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\alpha$を動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

(3)　$\theta =\angle \mathrm{BOQ}$とするとき，$\tan \theta$を$\alpha$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

(4)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分するときの$\alpha$の値を求めよ．

【５】　自然数$n$の約数の個数を$f(n)$とおく．例えば$12$の約数は$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}6\text{，}12$であるので，$f(12)=6$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$n$が$n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}\cdots {p_k}^{a_k}$と素因数分解されるとき，$f(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$となることを示せ．

(2)　$f(n)$が奇数になるのは$n$がどのような数のときか．

(3)　$f(n)$が$3$以上の素数になるような$500$以下の自然数$n$はいくつあるか．