2015　香川大学　前期MathJax

【１】　図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}$とする．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{OC}$の中点，$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$をそれぞれ辺$\mathrm{AE}\text{，}$辺$\mathrm{GF}$上の点とする．$\mathrm{AR}=r\text{，}\mathrm{GS}=s\text{，}\angle \mathrm{RMS}=\theta$とおくとき，次の問に答えよ．

1.　$\overrightarrow{\mathrm{MR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{MS}}$を，それぞれ$r\text{，}s\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

2.　$\cos \theta$を$r\text{，}s$を用いて表せ．

3.　$▵\mathrm{MRS}$が$\angle \mathrm{RMS}=90\mathrm{°}$の直角二等辺三角形のとき，$r$と$s$の値を求めよ．

4.　$\angle \mathrm{MRS}$はつねに鋭角であることを示せ．

【２】　図１のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5\text{，}\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$O_1\text{，}{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．

・円$O_1$と円$O_2$は外接する．

・円$O_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$O_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．

　このとき，次の問に答えよ．

1.　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．

2.　円$O_1$の半径$R$を求めよ．

3.　さらに円$O_3$が図２のように円$O_1$と円$O_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$O_3$の半径$r$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は，

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+2}{a_n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．

1.　$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．

2.　$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．

3.　$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて

$a_n-\sqrt{2}\leqq {\displaystyle \frac{{(2-\sqrt{2})}^n}{3^{n-1}}}$

を示せ．

【４】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$({\displaystyle \frac{3}{2}}a,-a)$を頂点とし，点$(a,0)$を通る放物線である．ただし，$a\ne 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．

2.　$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．

3.　$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

【５】　放物線$y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と，容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある．このとき，次の問に答えよ．

1.　空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．

2.　あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深は$2$となるか．

【４A】　複素数平面上に原点$\mathrm{O}(0)$と点$\mathrm{A}(1+\sqrt{3}i)$がある．ただし，$i$を虚数単位とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

2.　点$\mathrm{A}$を原点のまわりに$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点を表す複素数を求めよ．

3.　虚軸上の点$\mathrm{B}(z)$が$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすとき，複素数$z$を求めよ．

4.　3.で求めた$\mathrm{B}(z)$に対して，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る円の中心を表す複素数を求めよ．

【４B】　行列$A\text{，}E$を$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とし，$a\text{，}b$を$a^2+b^2\ne 0$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　$A^2$を求めよ．

2.　$X=aA+bB$の逆行列$X^{-1}$を求めよ．

3.　$B^2=-E$を満たす任意の$2$次の正方行列$B$について，$(aB+bE)(-aB+bE)=sB+tE$となる実数$s\text{，}t$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

4.　3.の$B$に対して$Y=aB+bE$とおくとき，$pB+qE$が$Y$の逆行列$Y^{-1}$と等しくなるような実数$p\text{，}q$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【４】　$b$を$b>2\sqrt{2}$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

1.　$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．

2.　実数$a$が1.で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．