2015　九州大学　後期MathJax

【１】　座標空間における直方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の座標をそれぞれ$(0,0,2)\text{，}$$(2,0,2)\text{，}$$(2,4,2)\text{，}$$(0,4,2)\text{，}$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$の座標をそれぞれ$(0,0,0)\text{，}$$(2,0,0)\text{，}$$(2,4,0)\text{，}(0,4,0)$とする．また，線分$\mathrm{AD}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{I}\text{，}$線分$\mathrm{FG}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{J}$とする．ただし，$0<s<1\text{，}0<t<1$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AJ}$と平面$\mathrm{BEI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{e}$としたとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{e}\text{，}s\text{，}t$で表せ．

(2)　平面$\mathrm{BEI}$に対して垂直なベクトルを求めよ．ただし，その$x$成分は$1$とする．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$が平面$\mathrm{BEI}$に対して垂直となるとき，$s$を$t$で表せ．

【２】　チーム$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が複数回試合を行って優勝チームを決めるものとする．ただし，いずれの試合においても，引き分けはないものとし，チーム$\mathrm{A}$が勝つ確率は$q\text{（}0<q<1\text{）}$であり，各試合の勝敗は互いに独立に決まるものとする．このとき，次の$2$種類のルールを考える．

ルール１：最大$3$回試合を行い，先に$2$勝したチームを優勝とする．

ルール２：どちらか一方が$2$連勝するまで試合を繰り返し，$2$連勝したチームを優勝とする．

以下の問いに答えよ．

(1)　ルール１を採用した場合に，チーム$\mathrm{A}$が優勝する確率$P_1(q)$を$q$で表せ．

(2)　ルール２を採用した場合に，チーム$\mathrm{A}$が優勝する確率$P_2(q)$を$q$で表せ．

(3)　$P_1(q)\geqq P_2(q)$となる条件を求めよ．

【３】　$x\text{，}y$を$0$以上$1$以下の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が実数のとき，$\max (a,b)$は$a\text{，}b$のうちの最大の数を表し，$\max (a,b,c,d)$は$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうちの最大の数を表す．

(1)　$\max (xy,1-xy)$の最小値を求めよ．

(2)　$\max (xy,1-xy,x,y)$の最小値を求めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$の第$n$項を$x_n=r^{n-1}$で定める．このとき，正の実数$x$に対して定義された関数$f(x)=x^{-\alpha }$を用いて，$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を，それぞれ$a_n=f(x_n)(x_{n+1}-x_n)$と$b_n=f(x_{n+1})(x_{n+1}-x_n)$で定める．ただし，$\alpha$は正の定数，$r$は$1$より大きい実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$の値に応じて級数$a(r)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の収束，発散を調べ，収束するときは和を求めよ．

(2)　$\alpha$の値に応じて級数$b(r)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n$の収束，発散を調べ，収束するときは和を求めよ．

(3)　極限$\underset{r\to 1+1}{\lim }a(r)$と$\underset{r\to 1+0}{\lim }b(r)$のそれぞれについて，極限が有限な値である場合，その値を求めよ．

【５】　座標平面上の直線$l\text{：}y=-1$と点$\mathrm{F}(0,2)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$上を動く点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{P}$を，線分$\mathrm{DP}$と線分$\mathrm{FP}$の長さが等しく，かつ線分$\mathrm{DP}$が$y$軸と平行となるように定める．このとき，点$\mathrm{P}$の軌跡$C$を求めよ．

(2)　$a$を実数とする．点$\mathrm{F}$を通り，傾きが$a$の直線$m\text{：}y=ax+2$を考える．直線$m$と軌跡$C$の交点が$2$つあることを示し，それぞれの座標を求めよ．ただし，$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{A}$の$x$座標が点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．

(3)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における軌跡$C$の接線をそれぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$とする．接線$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$は互いに垂直であることを示せ．

(4)　接線$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$の交点を通り，$y$軸に平行な直線を$n$とする．直線$n$は線分$\mathrm{AB}$と，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは異なる点で交わることを示せ．また，軌跡$C\text{，}$直線$m\text{，}$直線$n$によって囲まれる図形のうち，直線$n$の左側にある部分の面積を$S_{\mathrm{A}}$とし，右側にある部分の面積を$S_{\mathrm{B}}$とする．このとき，$S_{\mathrm{A}}$と$S_{\mathrm{B}}$の比を求めよ．