2015　九州工業大学　前期MathJax

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(ⅲ)　直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{O}‐\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．

$|\underset{\text{第}1\text{群}}{a_1}|\underset{\text{第}2\text{群}}{a_2\text{，}{a}_3}|\underset{\text{第}3\text{群}}{a_4\text{，}{a}_5}|\underset{\cdots }{a_6\text{，}\cdots }$

第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　自然数$m$に対して，$b_{3m-2}\text{，}{b}_{3m-1}\text{，}{b}_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列$\{b_k\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．

(ⅱ)　自然数$m$に対して，$c_{3m-2}\text{，}{c}_{3m-1}\text{，}{c}_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列$\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．

(ⅲ)　$1000$は第何群の何番目の数か．

(ⅳ)　$x\geqq 1$のとき$\sqrt{x^2+1}<x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3m}}(\sqrt{c_k}-k)<{\displaystyle \frac{m}{2}}$

(ⅰ)　$x>0$のとき，不等式$\log x+{\displaystyle \frac{1}{x}}>0$を証明せよ．

(ⅱ)　$\underset{x\to +0}{\lim }{x}^n\log x=0$を示せ．

(ⅲ)　関数$f(x)$の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．

(ⅳ)　$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を$c_n$とし

$I_n={\displaystyle {\int }_{c_n}^1}f(x)dx$

とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{I}_n$を求めよ．

(ⅰ)　区間$x>1$で，$f(x)$は増加し，曲線$C$は上に凸であることを示せ．

(ⅱ)　曲線$C$の点$(\sqrt{2},f(\sqrt{2}))$における接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた直線$l$と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で定めた図形$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\pi$の範囲で$f(x)=0$をみたす$x$の値をすべて求めよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\pi$の範囲で$f(x)$の増減を調べよ．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(ⅲ)　部分積分を$2$回用いて$f(x)$の不定積分を求めよ．

(ⅳ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\pi$の範囲で$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=e^{-x}$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

(ⅰ)　直線$l$の方程式を$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$k$を用いて表せ．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を最大にする$k$を求めよ．

$f_m(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}m=0\text{）}\\ x^m& \text{（}m\geqq 0\text{）}\end{array}$

さらに，$a_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を次のように定める．

$a_k={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{f}_k(1-x)f_{n-k}(1+x)dx$

以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_0$と$a_1$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$k\geqq 1$のとき，$a_k$を$n\text{，}k\text{，}{a}_{n-1}$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_k$を$n\text{，}k$を用いて表せ．

(ⅳ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を$n$を用いて表せ．

(ⅰ)　$9$個の玉から$3$個を選んで$1$つの箱に入れる．この入れ方は何通りあるか．

(ⅱ)　(ⅰ)の入れ方のうち，箱に，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．

(ⅲ)　$9$個の玉を区別ができない$3$つの箱に分けて入れる．ただし，各箱にはそれぞれ$3$個ずつの玉を入れるものとする．この入れ方は何通りあるか．

(ⅳ)　(ⅲ)の入れ方のうち，どの箱にも，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．