2015　佐賀大学　前期MathJax

【１】　等差数列$\{a_n\}$は

$a_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^{40}}{a}_k=250$

を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$a_n\leqq 10$となる$n$の最大値$N$を求めよ．

(3)　(2)で求めた値$N$に対して，和${\displaystyle \sum _{k=1}^N}{a}_k$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の定数とし，$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,c)$の定める平面を$\alpha$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，平面$\alpha$に垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3)$とする．ただし，$n_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{n}$を求めよ．

(2)　平面$\alpha$上に点$\mathrm{H}$があり，直線$\mathrm{OH}$は$\alpha$に垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$および$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}▵\mathrm{OBC}$の面積を$S_1$とする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積を考えることにより，$S_1=n_{1}S$であることを示せ．

【３】　$a$を定数とし，関数

$f(\theta )={\sin }^3\theta +a\cos 2\theta +{\displaystyle \frac{21}{4}}\sin \theta$

は$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{13}{4}}$を満たすものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$f(\theta )$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【１】

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x(5-x)& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ x(x^2-1)& \text{（}x<0\text{）}\end{array}$

とおき，関数$y=f(x)$のグラフを$C$とおく．直線$y=ax$と$C$は，原点$\mathrm{O}$およびそれ以外の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっているものとする．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は正，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は負であるとする．線分$\mathrm{OP}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_1(a)\text{，}$線分$\mathrm{OQ}$と$C$によって囲まれる図形の面積を$S_2(a)$とし，$S(a)=S_1(a)+S_2(a)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$S_1(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　(1)で求めた範囲を$a$が変化するとき，$S(a)$の最小値を求めよ．

【２】　直線$l\text{：}y=ax+b$と曲線$C\text{：}y=\log x\text{（}x>0\text{）}$は接するものとする．ただし，$a\text{，}b$は定数であり，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$l$と$C$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．$0<a<1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0,1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta =\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$の値が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．

【４】　正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．

　硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$p_2\text{，}{p}_3$を求めよ．

(2)　$p_4\text{，}{p}_5$を求めよ．

(3)　$p_{12}$を求めよ．

【１】　$a\text{，}b$は定数であり，$0<a<b$とする．定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^1}{a}^{1-t}{b}^{t}dt$

について，次の問に答えよ．

(1)　$I$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，

$a^{1-t}{b}^t+a^t{b}^{1-t}\geqq 2\sqrt{ab}$

であることを示せ．また，$I>\sqrt{ab}$を示せ．

(3)　$0<t<1$とする．$x>1$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$x^t<1+t(x-1)$

(4)　(3)の不等式を利用して，$I<{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$を示せ．

【４】　$p$を素数とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$2$つの自然数$m\text{，}n$の最大公約数は$1$であるとし，$x={\displaystyle \frac{n}{m}}$とおく．$p^x$が有理数であるならば，$m=1$であることを示せ．

(2)　方程式

$p^x=-x^2+9x-5$

が有理数の解$x$をもつような組$(p,x)$をすべて求めよ．

【１】　等差数列$\{a_n\}$は

$a_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}{\displaystyle \sum _{k=11}^{40}}{a}_k=250$

を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$a_n\leqq 10$となる$n$の最大値$N$を求めよ．

(3)　(2)で求めた値$N$に対して，和${\displaystyle \sum _{k=1}^N}{a}_k$を求めよ．