2015　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$3$点$(-2,-11)\text{，}(2,-7)\text{，}(4,-23)$を通る放物線$A$をグラフとする$2$次関数を求めよ．さらに，放物線$A$を図示せよ．

(2)　(1)で図示した放物線$A$を，次の座標軸または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

• $\text{①}$　$x$軸
• $\text{②}$　$y$軸
• $\text{③}$　原点

(3)　(2)の$\text{①，②，③}$で求めた$3$つの$2$次関数の定義域を$0\leqq x\leqq 2$とする．このとき，それぞれの関数の最大値と最小値を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

【２】　$x\text{，}y$を実数とする．$3^x=2^y=a\text{，}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{3y}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たす実数$a$を求めよ．

【３】　$k$は定数とし，$k>0$とする．関数

$f(x)={(x+1)}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}k{(x+1)}^2+2$

について次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極大値および極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　すべての$x\geqq 0$に対して，$f(x)\geqq 0$が成り立つ$k$の値の範囲を求めよ．

【４】　連立不等式

$x^2+y^2\leqq 100\text{，}y\geqq -\sqrt{3}x+10\sqrt{3}$

の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　川幅が測定できていない$\mathrm{A}$川に橋を設置する計画がある．次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$川の幅$\mathrm{EF}$は何$\mathrm{m}$か．小数第$1$位を四捨五入せよ．ただし，川幅は一定とする．なお，右の図１と三角比の表を参考にせよ．

角	正弦（$\sin$）	余弦（$\cos$）	正接（$\tan$）
$65\mathrm{°}$	$0.906$	$0.423$	$2.145$
$75\mathrm{°}$	$0.966$	$0.259$	$3.732$
$80\mathrm{°}$	$0.985$	$0.174$	$5.671$

(2)　船舶の往来の都合上，水面から橋までの高さは$15\mathrm{m}$以上必要である．また，水面は地表より$2\mathrm{m}$低い．さらに，斜路の水平距離$\mathrm{GH}$は$100\mathrm{m}$とする．地表と斜路のなす$\angle \mathrm{IGH}$は最低何度に設定すればよいか．ただし，角度は整数とする．なお，右の図２と三角比の表を参考にせよ．

角	正弦（$\sin$）	余弦（$\cos$）	正接（$\tan$）
$3\mathrm{°}$	$0.052$	$0.999$	$0.052$
$4\mathrm{°}$	$0.070$	$0.998$	$0.070$
$5\mathrm{°}$	$0.087$	$0.996$	$0.088$
$6\mathrm{°}$	$0.105$	$0.995$	$0.105$
$7\mathrm{°}$	$0.122$	$0.993$	$0.123$
$8\mathrm{°}$	$0.139$	$0.990$	$0.141$
$9\mathrm{°}$	$0.156$	$0.988$	$0.158$
$10\mathrm{°}$	$0.174$	$0.985$	$0.176$