2015　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　数列$1\text{，}$$1\text{，}$$3\text{，}$$3\text{，}$$1\text{，}3\text{，}$$5\text{，}5\text{，}$$3\text{，}1\text{，}3\text{，}$$5\text{，}$$7\text{，}$$7\text{，}$$5\text{，}$$3\text{，}\cdots$を$\{a_n\}$とし，それを第$m$群が$(2m-1)$個の項からなる次のような群に分ける．

$\begin{array}{cccccc}1& |& 1\text{，}3\text{，}3& |& 1\text{，}3\text{，}5\text{，}5\text{，}3& |\\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}\end{array}$$\begin{array}{ccccc}\cdots & |& 1\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots \text{，}2m-1\text{，}2m-1\text{，}\cdots \text{，}5\text{，}3& |& \cdots \\ & & \text{第}m\text{群（}m\geqq 2\text{）}& & \end{array}$

第$m$群にあるすべての数の和を$S_m$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$a_n$が第$m$群の末項であるとき，$n$を$m$を用いて表しなさい．

(2)　$S_m$を$m$を用いて表しなさい．

(3)　$S_m+S_{m+1}>300$を満たす最小の$m$の値を求めなさい．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$105$項までの和を求めなさい．

【２】　座標空間内に，$3$点$\mathrm{A}(5,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,12,0)\text{，}\mathrm{C}(-1,0,12)$がある．次の問いに答えなさい．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$からの距離がすべて等しい点を$\mathrm{P}(k,l,m)$とする．$k\text{，}l$を$m$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面上にあるとき，$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{S}(0,0,5)$と$xy$平面上を動く点$\mathrm{Q}(x,y,0)$がある．(2)で求めた点$\mathrm{P}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{SP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{SQ}}$のなす角が常に${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となるように$\mathrm{Q}$が動くとき，$x$と$y$の関係式を求めなさい．また，$xy$平面上に点$\mathrm{Q}$の軌跡を図示しなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)=x\sqrt{1-2x^2}(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$の増減，凹凸を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかきなさい．

(2)　すべての実数$\theta$に対して$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$が成り立つことを，加法定理を用いて証明しなさい．

(3)　関数$g(\theta )=\sqrt{2\sin \theta (\sin 3\theta -\sin \theta )}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めなさい．

【４】　関数$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$がある．$c={\displaystyle \frac{e-e^{-1}}{2}}$とし，座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(c,1)\text{，}\mathrm{Q}(-c,-1)$を通る直線を$l$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$f(-x)=-f(x)$であることを示しなさい．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフは$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通ることを示しなさい．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフと直線$l$を同じ座標平面上にかきなさい．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めなさい．