2015　岐阜薬科大学　中期MathJax

【１】　$2$点$\mathrm{A}(x,y)\text{，}\mathrm{B}(X,Y)$が原点$\mathrm{O}$を通る同一直線上にある．$\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}=4$を満たし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は原点$\mathrm{O}$に対し反対側にある．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}(x,y)$を$X$と$Y$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$が直線$y=-2x-2$上を動くとき，(ⅰ)点$\mathrm{B}$の軌跡，(ⅱ)${\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{AB}}}$が最大となる点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標，を求めよ．

【２】　ある病気$\mathrm{X}$にかかっている人が$4\mathrm{\%}$いる集団$\mathrm{A}$がある．病気$\mathrm{X}$を診断する検査で，病気$\mathrm{X}$にかかっている人が正しく陽性と判定される確率は$80\mathrm{\%}$である．また，この検査で病気$\mathrm{X}$にかかっていない人が誤って陽性と判定される確率は$10\mathrm{\%}$である．次の問いに答えよ．

(1)　集団$\mathrm{A}$のある人がこの検査を受けたところ陽性と判定された．この人が病気$\mathrm{X}$にかかっている確率はいくらか．

(2)　集団$\mathrm{A}$のある人がこの検査を受けたところ陰性と判定された．この人が実際には病気$\mathrm{X}$にかかっている確率はいくらか．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，図のように，$5$本の対角線の交点を$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}$とする．$▵\mathrm{ABF}\text{，}▵\mathrm{BCG}\text{，}▵\mathrm{CDH}\text{，}▵\mathrm{DEI}\text{，}▵\mathrm{EAJ}$を切り取り，残った図形を使って，五角形$\mathrm{FGHIJ}$を底面とする五角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)　五角形$\mathrm{FGHIJ}$の面積は$▵\mathrm{AFJ}$の面積の何倍か．

(2)　五角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の体積を求めよ．

【４】　$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$があり，$l\overrightarrow{\mathrm{PB}}+m\overrightarrow{\mathrm{PD}}+n\overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}}$を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1\ne 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l\text{，}m\text{，}n$が満たす条件を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$が$▵\mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AD}}+z\overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x\text{，}y\text{，}z$が満たす条件を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l\text{，}m\text{，}n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l\text{，}m\text{，}n$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　不等式${\displaystyle \frac{1}{n+1}}<\log (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})<{\displaystyle \frac{1}{n}}$を証明せよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(2)　(1)の不等式を使って，次の極限値を求めよ．$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}})$

(3)　(1)の不等式を使って，次の極限値を求めよ．$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}})$

(4)　区分求積法を使って，次の極限値を求めよ．$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{n+1}}+{\displaystyle \frac{1}{n+2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}})$

(5)　次の極限値を求めよ．$\underset{n\to \infty }{\lim }(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2n}})$