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2015-11491-0301
2015 名古屋市立大 中期
薬学部
易□ 並□ 難□
【1】 連立不等式
{ y≦1- x2 ( x-1) 2+ (y -1) 2≦1
の表す領域を D とする.点 P ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, 0≦a ≦2 を満たす定数 a に対して a ⁢x+y の最大値を M , 最小値を m とする.次の問いに答えよ.
(1) 領域 D を図示せよ.
(2) M および m をそれぞれ a を用いて表せ.
2015-11491-0302
【2】 右図に示す 8 つの領域にわかれた円を塗り分ける.そのさい各領域には 1 つの色を塗るものとし,境界を共有する隣り合った領域には互いに異なる色を塗る.ただし,円を 120 ⁢° の倍数の角度で回転させて一致する塗り方はすべて同じとみなす.次の問いに答えよ.
(1) 異なる 8 色を用いた塗り方は何通りあるか.
(2) 異なる 7 色を用いた塗り方は何通りあるか.
(3) 異なる 6 色を用いた塗り方は何通りあるか.
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【3】 自然数 n に対して, 0 以上の実数を定義域とする x の関数 Rn⁡ (x ) を
Rn ⁡(x )= 1 1+x p - ∑k= 0n- 1 (- xp )k
とする.ただし, p は正の定数である.以下の問いに答えよ.
(1) 次の不等式を示せ.
| ∫01 Rn ⁡( x)⁢ dx| < 1p⁢n +1
(2) 次の等式を示せ.
∫ 01 d x1+ xp = ∑k =0∞ (-1 )k p⁢k +1
(3) 以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ.
(a) S1 =1- 12 + 13- 14 + 15- ⋯
(b) S2 =1- 13 + 15- 17 + 19- ⋯