2015　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　$n$を$1$以上の整数とし

$f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{{(2-x)}^n}}+{(-1)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{{(2+x)}^n}}\text{（}\left|x\right|<2\text{）}$

とおく．これについて

$I_1={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_1(x)dx$

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x)}^{n-1}{f}_n(x)dx\text{（}n\geqq 2\text{）}$

とおく．

(1)　$f_n(x)$の導関数${f_n}^{\prime }(x)$を$f_{n+1}(x)$を用いて表せ．

(2)　$n$が奇数のとき$I_n={\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}n}}+I_{n+1}\text{，}n$が偶数のとき$I_n=I_{n+1}$であることを証明せよ．

(3)　$0\leqq I_n\leqq {\displaystyle \frac{2}{n}}$であることを証明せよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{4^{k-1}(2k-1)}}=\log 3$であることを証明せよ．

【２】　円錐$C$は母線の長さが$1$で，側面を扇形に展開したときの展開図の中心角が$\theta \text{（}0<\theta <2\pi \text{）}$であるとする．円錐$C$の底面の半径を$R$とし，円錐$C$に内接する球$B$の半径を$r$とする．球$B$と円錐$C$の側面とで囲まれた部分を$A$とする．

(1)　$R$と$r$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$A$の体積を$V$とするとき，$V$を$R$を用いて表せ．

(3)　$C$の側面のうち$A$に含まれる部分の面積を$S$とする．$0<\theta <2\pi$のとき，${\displaystyle \frac{V}{S}}$を最大にする$\theta$の値を求めよ．

【３】　関数

$g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}||\log \left|x\right|+1|+\log \left|x\right|-1|\text{（}x\ne 0\text{）}$

に対して，$f(x)=e^{g(x)}\text{（}x\ne 0\text{）}$とし，$f(0)={\displaystyle \frac{1}{e}}$とおく．ここで$e$は自然対数の底である．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$を固定する．$x$軸上に$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をとり，$y\leqq f(x)$の表す領域に含まれる三角形$\mathrm{ABC}$を考える．このような三角形のうち最大の面積をもつ三角形の面積を$S(a)$とおく．

(2)　$S(0)$を求めよ．

(3)　$S(a)\leqq S(0)$であることを証明せよ．

【４】　$1$から$10$までの番号が書かれたカードが$1$枚ずつ全部で$10$枚ある．この中から無作為に$1$枚選び，立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の頂点$\mathrm{A}$にそのカードを割り当てる．次に残りの$9$枚から無作為に$1$枚選び，頂点$\mathrm{B}$にそのカードを割り当てる．以下同様にして，$\mathrm{C}$から$\mathrm{H}$までの頂点にカードを割り当て，立方体の$8$個の頂点に$8$枚の異なるカードを割り当てる．

(1)　立方体の$8$個の頂点に割り当てたカードの番号の和が偶数になる確率を求めよ．

(2)　立方体の面のうちで，面の$4$頂点に割り当てたカードの番号の和が偶数になるものの個数を数える．その個数がちょうど$3$になる確率を求めよ．

(3)　立方体のすべての面において，面の$4$頂点に割り当てたカードの番号の和が偶数になる確率を求めよ．

(4)　立方体のすべての面において，面の$4$頂点に割り当てたカードの番号の和が奇数になる確率を求めよ．