2015　兵庫県立大学　前期MathJax

2015-11613-0101

数学入試問題さんの解答（PDF）へ

2015　兵庫県立大学　前期

経済・経営学部

(1)，(2)あわせて配点率20％

易□　並□　難□

【１】　次の問に答えなさい．

(1)　 $2$ つの解 $α = 1 + \sqrt{2} ， β = \sqrt{3}$ をもつ $2$ 次方程式を一つ求めなさい．

(2)　ある $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ の解の $1$ つが $α = s + t \sqrt{2}$ であった．このとき，もう一つの解 $β$ に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい．

　 $α = s + t \sqrt{2}$ なら簡単な計算により， $α^{2} - 2 s α + s^{2} - 2 t^{2} = 0$ を得る．これは， $α$ が $x^{2} - 2 s x + s^{2} - 2 t^{2} = 0$ の解であることを意味することから， $f (x) = x^{2} - 2 s x + s^{2} - 2 t^{2}$ がわかる．よって， $f (x) = 0$ のもう一つの解 $β$ は $x^{2} - 2 s x + s^{2} - t^{2} = 0$ を解いて $β = s - t \sqrt{2}$ と求まる．

(3)　 $2$ 次方程式 $x^{2} + p x + q = 0$ において， $p ， q$ は有理数とする． $α = 1 + \sqrt{2}$ がこの方程式の解であるとき，もう一方の解 $β$ を求めなさい．

2015-11613-0102

2015　兵庫県立大学　前期

経済・経営学部

(1)，(2)あわせて配点率20％

易□　並□　難□

【２】　放物線 $C ： y = x^{2}$ 上の点 $A (a, a^{2})$ における $C$ の接線 $l_{T} ，$ さらに，点 $A$ を通り， $l_{T}$ に直交する直線（法線） $l_{N}$ を考える．また，法線 $l_{N}$ に関して直線 $x = a$ と対称な直線を $l_{R}$ とする．次の問に答えなさい．

(1)　接線 $l_{T}$ と $x$ 軸のなす角を $θ$ とする．ただし， $a > 0$ の範囲では $0 < θ < \frac{π}{2}$ とする． $a > 0$ のとき， $\tan (\frac{π}{2} + 2 θ)$ を $a$ を用いて表しなさい．

(2)　直線 $l_{R}$ は $a$ の値によらず定点を通ることを示しなさい．

2015-11613-0103

2015　兵庫県立大学　前期

経済・経営学部

配点率20％

易□　並□　難□

【３】　実数 $a ， b$ を定数とし，関数 $f (x) = (1 - 2 a) x^{2} + 2 (a + b - 1) x + 1 - b$ を考える．次の問に答えなさい．

(1)　すべての実数 $x$ に対して $f (x) ≧ 0$ が成り立つような実数の組 $(a, b)$ の範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．

(2)　 $0 ≦ x ≦ 1$ を満たす，すべての実数 $x$ に対して $f (x) ≧ 0$ が成り立つような実数の組 $(a, b)$ の範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．

2015-11613-0104

2015　兵庫県立大学　前期

経済・経営学部

配点率20％

易□　並□　難□

【４】　空間内の $3$ 点 $A (0, t, 1) ， B (1, 0, t) ， C (t, 1, 0) （ 0 ≦ t ≦ 1 ）$ を頂点とする $▵ ABC$ の面積 $S$ の最小値を求めなさい．

2015-11613-0105

2015　兵庫県立大学　前期

経済・経営学部

配点率20％

易□　並□　難□

2015年兵庫県立大前期経済，経営学部【５】2015116130105の図

図

【５】　図に示すように，ある円の周上に $4$ つの円板 $A ， B ， C ， D$ が置かれ，円の中心には円板 $K$ が置かれている．当初 $A$ には●で示される小石が置かれている．この状態から，順次サイコロを振り以下の手順で小石を移動し小石の位置取りを繰り返す．

(ⅰ)　現在 $K$ に小石がある場合は，出た目の数にかかわらず，新たな位置取りはそのまま $K$ とする．

(ⅱ)　出た目の数が $1$ または $2$ の場合，小石を現在の場所から $K$ に移動する．

(ⅲ)　出た目の数が $3$ の場合，小石を現在の場所から反時計回り，すなわち， $A \to B \to C \to D \to E$ の向きで，隣接する円板に移動する．

(ⅳ)　出た目の数が $4$ 以上の場合，小石を現在の場所から時計回り，すなわち， $A \to D \to C \to B \to A$ の向きで，隣接する円板に移動する．

　次の問に答えなさい．

(1)　 $n$ 回目の位置取り後，小石が $K$ にある確率を $k_{n}$ と表す． $k_{n}$ を求めなさい．

(2)　偶数回位置取りを行った場合，小石は $K$ になければ $A$ または $C$ にあることを示しなさい．

(3)　 $n$ 回目の位置取り後，小石が $A$ にある確率を $a_{n}$ と表す． $a_{2}$ を求めなさい．また， $a_{2 n + 2}$ を $a_{2 n}$ および $k_{2 n}$ を用いて表しなさい．

(4)　 $a_{n}$ を求めなさい．

2015-11613-0106

2015　兵庫県立大学　前期

工学部

易□　並□　難□

【１】　 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x} （ - 2 ≦ x ≦ 2 ）$ とする．

(1)　 $f (x)$ の最小値を求めよ．

(2)　曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

2015-11613-0107

2015　兵庫県立大学　前期

工学部

易□　並□　難□

【２】　数列 ${a_{n}}$ を

${\begin{cases} a_{1} = \frac{1}{2} ， \\ n (n + 1) (n + 2) a_{n} = (n - 1) n (n + 1) a_{n - 1} + 2 （ n = 2 ， 3 ， \dots ） \end{cases}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $a_{n}$ を求めよ．

(2)　 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とする． $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ．

2015-11613-0108

2015　兵庫県立大学　前期

工学部

易□　並□　難□

【３】　次の定積分の値を求めよ．

(1)　 $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos^{2} x}$

(2)　 $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos^{4} x}$

2015-11613-0109

2015　兵庫県立大学　前期

工学部

易□　並□　難□

【４】　一辺の長さが $1$ の正方形の紙片 $ABCD$ の辺上に点 $P$ を $BP = t$ となるようにとる．ここで $t$ は $0 < t < 1$ をみたす実数とする．辺 $AB$ 上に点 $Q ，$ 辺 $CD$ 上に点 $R$ をとって，線分 $QR$ を折り目として，この紙片を折ると，点 $A$ と点 $P$ が重なるとする．また線分 $AP$ と線分 $QR$ の交点を $S$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分 $AS$ の長さを $t$ で表せ．

(2)　線分 $QB$ と線分 $RC$ の長さを $t$ で表せ．

2015-11613-0110

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工学部

易□　並□　難□

【５】　次の値を求めよ．

(1)　 $\cos \frac{2 π}{9} + \cos \frac{4 π}{9} + \cos \frac{8 π}{9}$

(2)　 $\cos \frac{2 π}{9} \cos \frac{4 π}{9} \cos \frac{8 π}{9}$