2015　奈良県立医科大学　前期医学科

【１】　次の中から鈍角三角形をすべて選べ．

ア.　三辺の長さが$10\text{，}13\text{，}16$である三角形

イ.　三辺の長さが$8\text{，}9\text{，}4$である三角形

ウ.　三辺の長さが$2\text{，}3\text{，}4$である三角形

エ.　三辺の長さが$7\text{，}8\text{，}5$である三角形

オ.　三辺の長さが$3\text{，}4\text{，}5$である三角形

【２】　$f(x)={\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x-3\sin x\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$が次を満たすとき，$f(x)$を求めよ．

$f(x)=5+2{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{t-x}f(t)dt$

【４】　四角形$\mathrm{ABCD}$がある．その内部の点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$またはそれらの延長に垂線$\mathrm{PE}\text{，}\mathrm{PF}\text{，}\mathrm{PG}\text{，}\mathrm{PH}$を下ろす．点$\mathrm{P}$の位置によらず，

$\mathrm{PE}+\mathrm{PG}=\mathrm{PF}+\mathrm{PH}$

が成り立つとき，四角形$\mathrm{ABCD}$はどのような形であるか求めよ．

【５】　複素数$\alpha$は実数でも純虚数でもないとする．${\displaystyle \frac{\alpha }{1+{\alpha }^2}}$が実数であるために$\alpha$の満たすべき必要十分条件を求めよ．

【６】　次の条件をみたす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=3\text{，}{a}_2=5\text{，}{a}_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【７】　右の図の中に，図形の線分を辺とする長方形（正方形を含む）はいくつあるか求めよ．

【８】　$x$を実数とする．全体集合を実数全体の集合$\mathrm{R}$とし，部分集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は以下のように定める．

$\mathrm{A}=\{x|2x-1\leqq |x-2|\}$

$\mathrm{B}=\{x|x^2-x<0\}$

$\mathrm{C}=\{x|x^2+x\leqq 0\}$

このとき，$\mathrm{A}\cap (\overline{\mathrm{B}\cup \mathrm{C}})$を求めよ．

【９】

$f(x)={\left({\displaystyle \frac{5}{1+3e^{-2x}}}\right)}^2-\left({\displaystyle \frac{5}{1+3e^{-2x}}}\right)+1$

とする．$f(x)$が最小となるときの$x$の値を求めよ．

【10】　$f(x)=k{(1-x)}^2{x}^3$とする．$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．ただし，$k$は

${\displaystyle {\int }_0^1}k{(1-x)}^2{x}^{3}dx=1$

を満たす実数とする．

【11】　次の連立方程式を解け．

$\{\begin{array}{l}15\cdot 2^{2x}-2^{2y}=-64\\ {\log }_2(x+1)-{\log }_2(y+3)=-1\end{array}$

【12】　$1$辺の長さが$1$の正方形$A_1$とその内接円$S_1$がある．円$S_1$に内接する正方形$A_2$とその内接円$S_2$がある．このようにして，内接円$S_{n-1}$に内接する正方形$A_n$とその内接円$S_n$がある．$A_1$から$A_n$までの面積の総和を$T_n$とするとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$

を求めよ．

【13】　平行六面体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，$▵\mathrm{BDE}$の重心を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{MF}$をどのように内分するか求めよ．ここで，平行六面体とは$6$つの平行四辺形からなる立体であり，$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$は向かい合う面の対応を表している．

【14】　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x-\sin (\tan x)}{x-\tan x}}$

【15】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$の範囲で，曲線$y=\cos x$と曲線$y=\cos 2x$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．