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2015-11621-0101
2015 奈良県立医科大学 後期医学部
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 x を実数とし, 0 以上の任意の整数 n に対して,定積分
In⁡ (x )= ∫ 0x tn⁢ et⁢ dt
を考える.
(1) In ⁡( x) は,定数 an , および最高次の係数を 1 とする x の n 次式 fn⁡ (x ) を用いて,
In⁡ (x) =fn ⁡(x )⁢ ex+ an
の形に,ただ一通りの方法で表せることを証明せよ.
(2) an を n を用いて表せ.
(3) 正整数 n に対して,
Sn ⁡(x )= ∑ i=0 n fi⁡ (x) i!
とおく.(ただし, 0!= 1 とする.)このとき, Sn ⁡(x )+S n-1 ⁡( x) を求めよ.
2015-11621-0102
【2】 a ,b は共に 1 より大きい実数の定数とする. xy 平面において原点 O ( 0,0 ) を中心とする半径 1 の円を C とし, 2 点 ( a,0 ), ( 0,b ) を通る直線を l とする.
(1) 円 C と直線 l とが交わらない為に,定数 a , b の満たすべき必要十分条件を求めよ.
(2) さらに(1)の仮定の下で,直線 l 上の点 P を通り円 C と接する 2 本の接線の C における接点を,各々 A ,B とおく.点 P が直線 l 上を動くとき,四角形 PAOB の面積 S を最小にするような点 P の座標,および S の最小値を求めよ.
2015-11621-0103
【3】 a を 2 以上の整数, p を 2 より大きい素数とする.ある正整数 k に対して等式
ap- 1-1 =pk
が成り立つのは, a=2 , p=3 の場合に限ることを証明せよ.
2015-11621-0104
新課程用
【4-1】 n を 3 以上の整数とし,複素数 z を
z=cos⁡ (2⁢ π/n) +i⁢sin ⁡( 2⁢π/ n) ,i =-1
と定める. a0 , a1 , ⋯ ,a n-1 が 1 から n までの全ての整数を動くとき,関数 v =(a 0+a 1⁢z +⋯+ an-1 ⁢z n-1 ) n の取りうる全ての値のなす集合を S とおく.さらに, b0 , b1 , ⋯ ,b n-2 が 0 から n -1 までの全ての整数を動くとき,関数 w =( b0+ b1⁢ z+⋯+ bn- 2⁢ zn-2 ) n の取りうる全ての値のなす集合を T とおく.
(1) 複素数 1 +z+⋯ +zn -1 の値を求めよ.
(2) 二つの集合 S と T とは等しいこと,すなわち S= T がなりたつことを証明せよ.
2015-11621-0105
2015 奈良県立医科大学 後期
旧課程用
【4-2】 n を 3 以上の整数とし, 2 行 2 列の行列 R を,
R=( cos ⁡(2 ⁢π/n )- sin⁡( 2⁢π/ n) sin⁡( 2⁢π/ n) cos⁡( 2⁢π/ n) )
と定める. E を 2 行 2 列の単位行列とする. a0 , a1 , ⋯ ,a n-1 が 1 から n までの全ての整数を動くとき,行列 ( a0⁢ E+a1 ⁢R+⋯ +an -1⁢ Rn- 1) n 全体のなす集合を S とおく.さらに, b0 , b1 , ⋯ ,b n-2 が 0 から n -1 までの全ての整数を動くとき,行列 ( b0⁢ E+b1 ⁢R+ ⋯+b n-2 ⁢R n-2 )n 全体のなす集合を T とおく.
(1) 行列 E +R+R 2+⋯ +Rn -1 を求めよ.