2015　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(0,1,2)\text{，}\mathrm{B}(1,2,0)$がある．

(ⅰ)　$▵\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}}{\boxed{\text{(3)}}}}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$の位置を，位置ベクトル

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

によって定める．このとき，$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{OAB}$の面積の比は

${\displaystyle \frac{▵\mathrm{ABC}}{▵\mathrm{OAB}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}}{\boxed{\text{(5)}}}}$

である．

(ⅲ)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは，

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(6)}\text{(7)}}}}{21}}(\boxed{\text{(8)}},-\boxed{\text{(9)}},1)$

である．

(ⅳ)　$t$を実数として，点$\mathrm{D}({\displaystyle \frac{t^2}{4}},4t,19)$を定める．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は

$V(t)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}}{\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}}}(t^2-\boxed{\text{(13)}}t+\boxed{\text{(14)}\text{(15)}})$

である．

(ⅴ)　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{n+1}{10}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，$V(a_n)$は，$n=\boxed{\text{(16)}}$で最小となる．

【２】　半径$1$の円周上に$8$個の点があり，それぞれの点は隣り合う点とすべて等間隔に配置されている．それらの点には，反時計回りに$1$から$8$までの番号が順番についている．また，中の見えない袋の中に，$8$個の球が入っていて，それらの球には，$1$から$8$の番号が$1$つずつ書かれている．

(ⅰ)　袋から同時に$3$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$3$点を頂点とする三角形の作り方は，全部で$\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}$通りある．このとき，作られた三角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．

(ⅱ)　袋から同時に$4$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$4$点を頂点とする四角形の作り方は，全部で$\boxed{\text{(40)}\text{(41)}}$通りある．このとき，作られた四角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．

【３】　$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう．

　栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，

$q=a-bx$

という単純な式であらわされるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変量$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．

　醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，

$p=c{q}^2$

で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．

　$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と定め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．

(ⅰ)　売上高は，

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(69)}}}{\boxed{\text{(70)}}}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{b}}$（リットル）

のとき，最大値

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(71)}}}{\boxed{\text{(72)}\text{(73)}}}}\cdot {\displaystyle \frac{x{a}^{\boxed{\text{(74)}}}}{b}}$（円）

をとる．

(ⅱ)　次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\bar{y}$で表し，それを与える醸造量を$\bar{x}$で表す．$\bar{x}$は$m$の関数であるので，これを$\bar{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$0<m<{\displaystyle \frac{a}{b}}$として，この関数のグラフを解答用紙Ｂの解答欄の所定の枠内に描きなさい．

　同様に，$\bar{y}$も$m$の関数であるので，これを$\bar{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$0<m<{\displaystyle \frac{a}{b}}$として，この関数のグラフを解答用紙Ｂの解答欄の所定の枠内に描きなさい．