2015　上智大学　総合人間，経済，外国語学部2月4日実施MathJax

【１】(1)　関数$f(x)=||x^2-3|-1|\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．

(ⅰ)　$f(x)=0$となるのは$x=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$または$x=\boxed{\text{イ}}$のときである．ただし，$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}<\boxed{\text{イ}}$とする．

(ⅱ)　関数$f(x)$は区間$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\leqq x\leqq \boxed{\text{イ}}$において，$x=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$で極大値$\boxed{\text{エ}}$をとる．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{3}{8}}f(x)dx=\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．

(2)　関数$g(x)$を

$g(x)=2^{3x+2}-3(1+\sqrt{2})\cdot 4^x+3\cdot 2^{x+\frac{1}{2}}$

で定める．$g(x)$は，

$x=\boxed{\text{コ}}$で極大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}\text{，}$

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$で極小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

をとる．

【 ２】　$N$を$2$以上の整数とする．整数$a\text{，}b$に対し，演算$⨁$を

$a⨁b=((a+b)\text{を}N\text{で割ったときの余り})$

と定める．例えば，$N=2$のとき

$0⨁0=0\text{，}0⨁1=1\text{，}1⨁1=0\text{，}1⨁3=0$

である．

(1)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n⨁(n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(ⅰ)　$N=4$のとき，$a_3=\boxed{\text{ヌ}}$である．

(ⅱ)　$N\geqq 4$とする．

　$N$が偶数のとき，$a_{N+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}N+\boxed{\text{ハ}}\text{，}$$N$が奇数のとき，$a_{N+1}=\boxed{\text{ヒ}}$である．

(ⅲ)　$N$が偶数のとき，$a_{N-1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}N+\boxed{\text{ホ}}\text{，}N$が奇数のとき，$a_{N-1}=\boxed{\text{マ}}$である．

(2)　$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．

$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}=b_n⨁(2n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$\boxed{\text{ミ}}$の倍数となることである．$N$が$\boxed{\text{ミ}}$の倍数でない偶数のとき，$b_M={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}N$である．

【３】　$a$を実数とするとき，座標平面において，円$C\text{：}{x}^2+y^2=20$および円$C_a\text{：}{x}^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える．

(1)　どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P}(\boxed{\text{モ}},\boxed{\text{ヤ}})\text{，}\mathrm{Q}(\boxed{\text{ユ}},\boxed{\text{ヨ}})$を必ず通る．ただし，$\boxed{\text{モ}}<\boxed{\text{ユ}}$とする．

(2)　$C_a$の中心の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}a,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}a)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$r^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}}{\boxed{\text{ワ}}}}(a^2+\boxed{\text{ヲ}}a+\boxed{\text{ン}})$である．

(3)　$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=\boxed{\text{あ}}$のときである．

(4)　$C$の周および内部の領域を$D\text{，}{C}_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=\boxed{\text{あ}}$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$\boxed{\text{い}}\pi +\boxed{\text{う}}$である．

(5)　$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．

(ⅰ)　$a=-4$のとき，$n(a)=\boxed{\text{え}}$である．

(ⅱ)　$n(a)$が最小値$\boxed{\text{お}}$をとるための必要十分条件は，$a<\boxed{\text{か}}$である．

(ⅲ)　$12\leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$\boxed{\text{き}}\leqq a<\boxed{\text{く}}$である．