2015　上智大学　総合人間(看護)学部2月4日実施MathJax

【１】(1)　座標平面上の放物線

$y={(x-29)}^2-3600$

と$x$軸の共有点の$x$座標は$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$である．ただし$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$とする．

【１】(2)　$x+y=1$かつ$0<x<1$を満たす実数$x\text{，}y$に対して

$A={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}\text{，}B=(1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})(1+{\displaystyle \frac{1}{y^2}})$

とおく．

(ⅰ)　$A$のとり得る値の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　すべての$x\text{，}y$に対して

$B=\boxed{\text{エ}}{A}^2+\boxed{\text{オ}}A+\boxed{\text{カ}}$

が成り立つ．

(ⅲ)　$B$のとり得る値の最小値は$\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　赤いカードと青いカードが$10$枚ずつあり，それぞれ$0$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$20$枚から数枚を選ぶときの，選び方に関する次の条件$P$を考える．

$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．

(1)　$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，Ｚをマークせよ．

(2)　$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，Ｚをマークせよ．

【３】　平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$O$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$O$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(2)　円$O$の半径のとり得る長さの最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

(3)　$▵\mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

(4)　$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(5)　円$O$の半径と$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=\boxed{\text{タ}}$である．

【４】　$1$から$9$の整数が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから$1$枚ずつ$2$回カードを取り出す．最初に取り出したカードを元に戻してから次のカードを取り出す場合を「戻す場合」といい，最初のカードを戻さずに次のカードを取り出す場合を「戻さない場合」ということにする．最初に取り出したカードに書かれている数を$a$とし，次に取り出したカードに書かれている数を$b$とする．

(1)　戻す場合，$8\leqq a+b\leqq 12$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$であり，戻さない場合，$8\leqq a+b\leqq 12$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(2)　戻す場合，$60\leqq ab\leqq 70$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$であり，戻さない場合，$60\leqq ab\leqq 70$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

(3)　戻す場合，$60\leqq ab+a+b\leqq 70$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$であり，戻さない場合，$60\leqq ab+a+b\leqq 70$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．