2015　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　座標平面上の円${(x-3)}^2+{(y-4)}^2=25$に内接する三角形を考える．この三角形の$2$つの頂点が$x$軸上にあるとき，残りの頂点を動かして三角形の面積を最大にすると，その三角形の面積は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$1$または$2$の数を発生する機械があり，$1$が発生する確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$で，$2$が発生する確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとする．この機械を$6$回動かして発生した数の総和が$10$となった．$1$と$2$の考えられる並び方は全部で$\boxed{\text{イ}}$通りあり，その確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$a\text{，}b\text{，}c$を定数として，$a\ne 0$であるとする．$x$についての恒等式

$x^3-2x^2+c={(x-a)}^2(x-b)$

が成立するとき，$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}c=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　自然数である定数$n$に対して，$2^{n-1}\leqq x<2^n$かつ$y\leqq {\log }_{2}x$を満たす自然数$x$および$y$の組$(x,y)$の個数は全部で$\boxed{\text{カ}}$個ある（$n$を用いた一般項で答えよ）．ここで，自然数とは$1$以上の整数のことである．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　$\overrightarrow{u}=(1,2,3)\text{，}\overrightarrow{v}=(2,3,4)\text{，}\overrightarrow{w}=(0,0,1)$とする．ベクトル$\overrightarrow{p}$が$\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{u}$かつ$\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{v}$を満たすとき，$\alpha =\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{w}$とおくと$\overrightarrow{p}=\alpha \boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅵ)　右の図で，$▵\mathrm{OPQ}$と$▵\mathrm{OQR}$は相似な直角三角形であり，$\mathrm{Q}(3,2)$であるとする．このとき，$\mathrm{R}$の座標は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$(0,-2)$を通り，円$C$に接する$2$本の直線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$\left|a\right|<\sqrt{3}$である定数$a$に対して$y=ax$で表される直線を考える．この直線が(ⅰ)で求めた$2$本の直線と交わる点を両端とする線分の長さを$d$とする．$d$を$a$の式で表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)において$A=a^2\text{，}D=d^2$とすると，$A$と$D$の関係式は$A$の$2$次方程式（$D$は定数）に書き換えることができる．この方程式が$0\leqq A<3$を満たす解を持たなければならないことを利用して，$d$の最小値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos t=x$とおいて，${(\sqrt{3}\sin 2t-2\sin t)}^2$を$x$の式で表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$x$の式を$f(x)$とおく．$f(x)$を展開した後，導関数$f^{\prime }(x)$を計算せよ．

(ⅲ)　$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)=0$を示し，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$以外の$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$を求めよ．

(ⅳ)　${(\sqrt{3}\sin 2t-2\sin t)}^2$の最大値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sqrt{3}\sin 2x-2\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$について，以下の問いに答えよ．ここで，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$である$▵\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$の角度を$\alpha$として，解答に必要ならば$\alpha$を$\pi$と同様に定数として用いてよい．

(ⅰ)　$f(x)=0$となる$x$をすべて求めよ．

(ⅱ)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x$をすべて求めよ．

(ⅲ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|f^{\prime }(x)|dx$を求めよ．