2015　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】　$a$を定数とする．$x$についての方程式

$|(x-4)(x-2)|=ax-5a+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$の範囲は，$\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}<a<{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

【２】　$x^2+2xy+3y^2=27$を満たす整数の組$(x,y)$は$\boxed{\text{エ}}$組あり，その中で$x-y$の値が最大になる組は，$(x,y)=(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$である．

【３】　不等式${\log }_{x^2+x+1}(2-x)<0$を満たす$x$の範囲は，

$\boxed{\text{キ}}<x<\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}<x<\boxed{\text{コ}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ク}}\leqq \boxed{\text{ケ}}$とする．

【４】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(\sqrt{3},-2)\text{，}\mathrm{B}(3\sqrt{3},0)\text{，}\mathrm{C}(4\sqrt{3},-5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{D}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．また，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

【５】　$k$を定数とする．$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$を，

$C_1\text{：}y=3x^2-6x+k\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2$

と定義する．曲線$C_1\text{，}{C}_2$はただひとつの共有点$\mathrm{A}$をもつ．

(1)　$k$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(2)　点$\mathrm{A}$を通る直線$l$をひき，直線$l$と曲線$C_1$との交点を$\mathrm{B}\text{，}$直線$l$と曲線$C_2$との交点を$\mathrm{C}$とする．ただし，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なる点である．点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$とすると，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$\boxed{\text{テ}}p+\boxed{\text{ト}}$であり，直線$l$および曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれる部分の面積は

$\boxed{\text{ナ}}{|{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}-p|}^3$

となる．

【６】　$2$つの箱$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$に，自然数が$1$つ記されたカードが何枚かずつ入っている．箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からカードを$1$枚ずつ，合計$2$枚のカードを取り出す試行を行う．自然数$n$に対し，取り出された$2$枚のカードに記された自然数の和が$n$である確率を$P_n$とする．

(1)　箱$\mathrm{A}$に数字$2\text{，}3$が起こされたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，箱$\mathrm{B}$に数字$1\text{，}2\text{，}3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入っているとき，$P_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．また，取り出された$2$枚のカードに記された$2$つの自然数の和の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(2)　箱$\mathrm{A}$にカードが$3$枚，箱$\mathrm{B}$にカードが$5$枚入っていて，

$P_2={\displaystyle \frac{1}{15}}\text{，}{P}_3={\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}{P}_4={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{P}_5={\displaystyle \frac{2}{5}}$

が成立している．このとき，箱$\mathrm{B}$に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは$\boxed{\text{フ}}$という数字が記されたカードであり，その枚数は$\boxed{\text{ヘ}}$枚である．