2015　南山大　全学統一入試　2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$x$についての$3$次の整式$P(x)\text{，}Q(x)$はどちらも$x^3$の係数が$1$であり，$P(0)=4\text{，}Q(0)=0$を満たす．また，$P(x)+Q(x)$を$(x-1)(x+1)$で割ったときの余りは$x+1\text{，}P(x)-Q(x)$を$(x-1)(x+1)$で割ったときの余りは$x+3$である．このとき，$P(-1)$の値を求めると$P(-1)=\boxed{\text{ア}}$であり，$Q(x)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とし，$3$つの実数解$1\text{，}\sin \theta \text{，}\cos \theta$をもつ$3$次方程式$x^3-a{x}^2+bx-c=0$を考える．このとき，$b$を$\sin \theta \text{，}\cos \theta$で表すと$b=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$b={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$a$の値を求めると$a=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$1\text{，}2\text{，}3$の数字が$1$つずつ書かれたカードが各$1$枚，合計$3$枚のカードが箱に入っている．この箱から$1$枚のカードを取り出し，書かれた数字を記録して，元に戻す．この試行を$5$回繰り返すとき，記録される$5$個の数の最大値が$2$である確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，$5$個の数の和が$8$である確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+a{x}^2+bx-{\displaystyle \frac{7}{6}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{b}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}$と曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}{C}_2\text{：}y=g(x)$を考える．$f(x)$は$x=-1$で極大となり，$x=2$で極小となる．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$g(x)$の増減を調べ，座標平面上に$C_2$を図示せよ．

(3)　$C_1$と$C_2$の交点をすべて求めよ．

(4)　座標平面の$x\geqq 0$の領域で，$C_1\text{，}{C}_2$と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$-2\leqq x\leqq 1$とする．$t=|x^2+3x|$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．また，$y=4{|x^2+3x|}^2-3|x^2+3x|$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\sin 2x-{\sin }^{2}x=0$のとき$\sin x=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\cos 3x+{\cos }^{2}x=0$のとき$\cos x=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　${\displaystyle \frac{3x+2}{x(x+2)}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x+2}}$が$x$についての恒等式となるように定数$a\text{，}b$の値を定めると，$(a,b)=\boxed{\text{オ}}$である．不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{3x+2}{x(x+2)}}dx$を求めると，${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{3x+2}{x(x+2)}}dx=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$1$枚のコインを$10$回投げるとき，表の出る回数を$m\text{，}$裏の出る回数を$n$とする．$m=n=5$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$|m-n|\geqq 4$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$3$辺の長さが，それぞれ，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}\text{，}\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{13}$の$▵\mathrm{OAB}$があり，頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と頂点$\mathrm{B}$から$\mathrm{OA}$に下ろした垂線との交点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$が垂直であることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とおき，$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$が垂直であることを用いて，$s$を$t$で表せ．

(4)　(3)の$s\text{，}t$の値を求めよ．

【３】　$p$を$2$以上の整数とし，$f(x)=x^p$とおく．曲線$y=fx)$を$C$とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．$a_1=1$とし，$C$上の点$(a_n,{a_n}^p)$における$C$の接線$l_n$と$x$軸との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

(1)　$l_n$の方程式を求めよ．

(2)　数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して$a_n>0$が成り立つことを示せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．