2015　南山大　理工A2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}b$を実数とする．$x$の方程式$x^3+a{x}^2+6x+b=0$の$1$つの解が$x=-1+i$であるとき，$a\text{，}b$の値を求めると$(a,b)=\boxed{\text{ア}}$であり，残りの解は$x=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$x>0$とする．不等式${({\log }_{2}x)}^2-5{\log }_{2}x-6<0$を解くと$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$x$の方程式$x^{{\log }_{2}x}=2^a{x}^5$が解をもつような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}k$が$5a-b-c=ka\text{，}-a+5b-c=kb\text{，}-a-b+5c=kc\text{，}abc\ne 0$を満たしている．このとき，$k$の値を求めると$k=\boxed{\text{オ}}$であり，$R={\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$の値を求めると$R=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$4$人がじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，誰も勝たない確率は$\boxed{\text{ク}}$である．ただし，各人がグー，チョキ，パーを出す確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\angle \mathrm{AOB}=\theta$$(0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$である．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積が$▵\mathrm{OAB}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{5}}$となる$t$の値を求めよ．

(4)　$0<\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})<{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^2$が成り立つことを示せ．

【３】　関数$f(x)=x{e}^{-x}$を考える．

(1)　$0\leqq x\leqq 4$の範囲で$f(x)$の増減と凹凸を調べ，$0\leqq x\leqq 4$の範囲で$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$t$を正の数とし，$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および直線$x=t$と$x=2t$で囲まれた図形の面積$S(t)$を$t$の式で表せ．

(3)　(2)の$S(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．また，$S(t)$の最大値を求めよ．