2015　南山大　外国語・法2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　関数$y=2{({\log }_2{x}^{\frac{1}{2}})}^2+{\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2+1$を考える．$t={\log }_{2}x$とするとき，$y$を$t$で表すと$y=\boxed{\text{ア}}$である．${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq 8$のとき，$y$の最小値$m$と最大値$M$を求めると$(m,M)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0<a<6$とする．方程式$2x^2+(6-a)x-3a=0$の解を求めると$x=\boxed{\text{ウ}}$である．また，関数$y=|2x^2+(6-a)x-3a|$の$-3\leqq x\leqq 0$における最大値$M$を$a$を用いて表すと$M=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　点$\mathrm{A}$から円$x^2+y^2=13$に$2$本の接線を引き，接点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めると$y=\boxed{\text{オ}}$であり，$\mathrm{PQ}$の長さを求めると$\mathrm{PQ}=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=5\sqrt{2}\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\angle \mathrm{B}=45\mathrm{°}$である．このとき$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めると$R=\boxed{\text{キ}}$である．また，外接円の中心を$\mathrm{O}\text{，}$頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に引いた垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{K}\text{，}$点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{AK}$に引いた垂線と$\mathrm{AK}$との交点を$\mathrm{L}$とする．$\mathrm{OL}$の長さを求めると$\mathrm{OL}=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　点$(2,5)$を通り傾きが$a$の直線$l$と放物線$C\text{：}y=x^2$を考える．

(1)　${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$が成り立つことを示せ．

(2)　$l$と$C$の交点の$x$座標を求めよ．

(3)　$l$と$C$で囲まれた部分の面積$S$を$a$で表せ．また，$a$が変化するとき，$S$の最小値を求めよ．