2015　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　面積の異なる$2$つの正三角形があり，$6$辺の長さの和は$60$である．$2$つの面積の和が$75\sqrt{3}$であるとき，面積の大きい方の三角形の$1$辺の長さは$\boxed{\text{ア}}$である．また，これら$2$つの三角形の面積の差の絶対値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BE}=4$となるように点$\mathrm{E}$をとると，四面体$\mathrm{ABCE}$の体積は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，線分$\mathrm{BP}\text{，}\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QE}$のそれぞれの長さを$x\text{，}y\text{，}z$とおく．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を動かして，$x+y+z$を最小にするとき，$x+y+z$の値は$\boxed{\text{エ}}$となる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　等式${\log }_3(x-2)={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$x$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，不等式${\log }_3(x-2)+{\log }_{\frac{1}{9}}(3-x)>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　関数$f(\theta )=\sin 3\theta -{\displaystyle \frac{3}{4}}\sin \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$がある．$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$t$の式で表すと$\boxed{\text{キ}}$となる．また，方程式$f(\theta )+a=0$が異なる$2$つの解をもつような実数$a$の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　定数$a\text{，}b\text{（}a<0\text{）}$に対して，曲線$C\text{：}y=a{x}^2+bx+a+4$は点$(1,3)$で直線$l\text{：}y=-x+4$と接し，$C$と$l$と直線$x=4$で囲まれた部分の面積は$18$となる．このとき，$a=\boxed{\text{ケ}}\text{，}b=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　実数$k$に対して，直線$y=kx$と曲線$C\text{：}y=x^2+2kx+k^2-k-1$は異なる$2$つの共有点$\mathrm{A}(a,ka)\text{，}\mathrm{B}(b,kb)$をもつ．ただし，$a<b$である．

(1)　$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$a^2+b^2-3(a+b)=6$のとき，$\mathrm{B}$の座標と線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$k$が(1)の範囲を動くとき，$C$の頂点の軌跡を求めよ．

(4)　直線$y=x+1$と$C$との$2$つの共有点を$\mathrm{P}(p,p+1)\text{，}\mathrm{Q}(q,q+1)$とおく．ただし，$p<q$とする．$k$が(1)の範囲を動くとき，$p$と$q$のそれぞれがとりうる値の範囲を求めよ．