2015　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　関数$f(x)=3^x$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}$であり，${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx=\boxed{\text{イ}}$である．したがって，座標平面内において点$(1,3)$における曲線$C\text{：}y=f(x)$の接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{ウ}}$であり，法線$m$の方程式は$y=\boxed{\text{エ}}$である．さらに，曲線$C\text{，}$接線$l\text{，}$軸と直線$x=2$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{オ}}$であり，法線$m$と$x$軸の交点の座標は$(\boxed{\text{カ}},0)$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$1$から$9$までの番号札$9$枚を入れた箱がある．その箱から番号札を$1$枚ずつ$2$回取り出して，その数を順に$x\text{，}y$とする．ただし，$1$度取り出した札はもとに戻さないとする．${\displaystyle \frac{y}{x}}$が整数になる確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，${\displaystyle \frac{y}{x}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，${\displaystyle \frac{y}{x}}\geqq 3$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{y}{x}}<3$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$\alpha$は$0<\alpha <\pi$を満たす実数，$n\text{，}k$は正整数として，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2n}}\sin {\displaystyle \frac{k\alpha }{n}}$を$\cos {\displaystyle \frac{(2k-1)\alpha }{2n}}$と$\cos {\displaystyle \frac{(2k+1)\alpha }{2n}}$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin {\displaystyle \frac{k\alpha }{n}}$と極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2n}}$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n}}\sin {\displaystyle \frac{k\alpha }{n}}$を求めよ．

【３】　${\theta }_1\text{，}{\theta }_2\text{，}a\text{，}b$は$0<{\theta }_1<{\theta }_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<a<b$を満たす実数とする．連立不等式$a^2\leqq x^2+y^2\leqq b^2\text{，}0\leqq y\leqq (\tan {\theta }_1)x$の表す領域を$D$とし，連立不等式$a^2\leqq x^2+y^2\leqq b^2\text{，}(\tan {\theta }_1)x\leqq y\leqq (\tan {\theta }_2)x$の表す領域を$E$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

(2)　$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{{\theta }_2\to {\theta }_1+0}{\lim }{\displaystyle \frac{W}{{\theta }_2-{\theta }_1}}$を求めよ．

【４】

［ア］　$i=\sqrt{-1}$とし，$\bar{z}$は$z$の共役複素数を表すとする．次の問いに答えよ．

(1)　複素数$z=2+i$に対して，複素数$z_1=(1+\sqrt{3}i)\bar{z}$の値を求めよ．

(2)　実数$k$と複素数$z=1+ti$（$t$は実数）に対して，次の等式が成立する$k\text{，}t$の組をすべて求めよ．

$(1+\sqrt{3}i)\bar{z}=kz$

(3)　複素数$w_1$に対し，複素数$w_2\text{，}{w}_3$を

$w_2=(1+\sqrt{3}i)\overline{w_1}\text{，}{w}_3=(1+\sqrt{3}i)\overline{w_2}$

によって定める．$w_3$を$w_1$を用いて表せ．

(4)　上の(1)で求めた$z_1$に対して，複素数$z_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i)\overline{z_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$z_{2m-1}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$m$を用いて表せ．

【４】

［イ］　行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　行列$A$の表す$1$次変換が点$(2,1)$を点$P_1$に移すとする．${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(2)　次の等式が成立する実数$k\text{，}t$の組をすべて求めよ．

$A\left(\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\\ kt\end{array}\right)$

(3)　$A^2$を求めよ．

(4)　行列$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の表す$1$次変換が点$(2,1)$を点${\mathrm{P}}_n$に移すとする．${\mathrm{P}}_{2m-1}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の座標を求めよ．