2015　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　方程式$x^2-2\sqrt{3}x+7=0$の虚数解を$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，$\alpha$の虚部は正，$\beta$の虚部は負とする．このとき，${\displaystyle \frac{1}{{(\alpha +i)}^2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{{(\beta -i)}^2}}$を解にもつ$2$次方程式を$x^2+AX+B=0$とすると，$A=\boxed{\text{ア}}\text{，}B=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$2$つの定数$a={\log }_{7}2\text{，}b={\log }_{7}3$に対して，${49}^{2a+b}=\boxed{\text{ウ}}$である．また，${\log }_{9}x+{\log }_9(x-18)=1+{\displaystyle \frac{2a}{b}}$を満たす実数$x$は$x=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$1$次関数$f(x)$が${\displaystyle {\int }_{-1}^x}f(t)dt=2x^2-ax+a$を満たすとき，定数$a$は$a=\boxed{\text{オ}}$である．このとき，${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)|dx=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(4)　$3$次関数$f(x)$が$x=-2$で極小値をとり，$x=3$で極大値をとるとする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(1,f(1))$における接線は原点を通り，曲線$y=f(x)$と直線$y=-45$との共有点の個数は$2$である．このとき，$f(x)=(\boxed{\text{キ}})x^3+(\boxed{\text{ク}})x^2+(\boxed{\text{ケ}})x+(\boxed{\text{コ}})$である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{AC}=5$とする．$2$点$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$上と辺$\mathrm{AC}$上にあり，$▵\mathrm{AST}$と$▵\mathrm{ABC}$の面積比が$1:2$である．また，線分$\mathrm{AS}$の長さを$x$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\cos \theta$を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{ST}$の長さを$x$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{ST}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{ST}$の長さの最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　動点$\mathrm{A}$は，原点$\mathrm{O}$を出発点とし，次の規則に従って，座標平面上で移動を繰り返す．コインを投げて，出た面が表であれば$\mathrm{A}$は現在の点$(x,y)$から点$(x+1,y)$へ移動し，出た面が裏であれば$\mathrm{A}$は現在の点$(x,y)$から点$(x,y+1)$へ移動する．この操作を$13$回繰り返した後の$\mathrm{A}$の位置を終点とする．また，座標平面上に$4$つの定点$\mathrm{B}(3,4)\text{，}\mathrm{C}(4,3)\text{，}\mathrm{D}(4,4)\text{，}\mathrm{E}(7,6)$があるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}$を通り，かつ$\mathrm{A}$の終点が点$\mathrm{E}$となる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$は$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のうち少なくとも$1$点を通り，かつ$\mathrm{A}$の終点が$\mathrm{E}$となる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$の両方を通り，かつ$\mathrm{A}$の終点が点$\mathrm{E}$となる確率を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$のいずれも通らず，かつ$\mathrm{A}$の終点が点$\mathrm{E}$となる確率を求めよ．

(5)　次の$2$問［ア］，［イ］のうち$1$問を選択し答えよ．また，解答用紙【３】の［　　　］内にアまたはイを記入すること．

［ア］　$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{D}$のいずれか$1$点以上を通り，かつ$\mathrm{A}$の終点は点$\mathrm{E}$であるとする．この条件の下で$\mathrm{A}$が点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$の両方を通る条件付き確率を求めよ．

［イ］　$\mathrm{A}$の終点の座標を$(X,Y)$とする．$X$の期待値を求めよ．