2015　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　円${(x-1)}^2+y^2=1$と直線$y=ax-2$の共有点の個数を求めよ．ただし，$a$は定数とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\cos 2\alpha +\cos \beta =\cos 2\beta +\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$とするとき，$\cos \alpha \text{，}\cos \beta$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$\cos \alpha \ne \cos \beta$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　コインを$11$回投げるとき，表の出た回数と裏の出た回数の多い方から少ない方を引いた値が，表の出た回数より小さくなる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　関数$f(x)$が次の式を満たすときの$f(x)$を求めよ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}(x-t)f(t)dt+27$

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$2^{2015}$について，その桁数と$1$の位の数を求めよ．ただし，必要であれば${\log }_{10}2=\mathrm{0.3.013}$を利用せよ．

【２】　$a$を$1$よりも大きい実数とする．$f_a(x)=|x+1|+a|x-1|$とし，また，$g(x)=x^2-2x+3$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C\text{：}y=g(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$a=3$のときの$C_3\text{：}y=f_3(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$a=3$のとき，$C\text{：}y=g(x)$のグラフと$C_3\text{：}y=f_3(x)$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(4)　$C\text{：}y=g(x)$のグラフと$C_a\text{：}y=f_a(x)\text{（}a>1\text{）}$のグラフとの共有点の個数を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy‐$平面において，点$\mathrm{A}(4,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(3,\sqrt{3})$を取り，$▵\mathrm{OAB}$の内部に点$\mathrm{P}(p,q)$を取る．また，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする正三角形$\mathrm{ABC}$を辺$\mathrm{AB}$以外は$▵\mathrm{OAB}$と重ならないように取る．さらに，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$を中心に正の方向に$60\mathrm{°}$回転させた点をそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$点$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．

$L=\mathrm{PO}+\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\text{，}M={\mathrm{PO}}^2+{\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$

として，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{OAB}$と$\angle \mathrm{OBA}$をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{D}\text{，}$点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$の座標を$p\text{，}q$を用いて表せ．また，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{E}$にあるとき，点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{AD}$上にあることを示せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{OAB}$の内部を動くとき，常に$L=\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$であることを示し，$L$の最小値とそのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(5)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{OAB}$の内部を動くとき，$M$の最小値とそのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．