2015　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】〔Ａ〕　$-{\displaystyle \frac{5}{2}}\leqq x\leqq 5$で定義された$2$つの曲線$C_1\text{：}y=\sqrt{2x+5}\text{，}{C}_2\text{：}y=\sqrt{5-x}$がある．点$\mathrm{P}$は$C_1$上にあり，その$x$座標は$t\text{，}$点$\mathrm{Q}$は$C_2$上にあり，その$x$座標は$t+3$である．ただし，$-1\leqq t\leqq 1$とする．また，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$からそれぞれ$x$軸に垂線を引き，交点をそれぞれ${\mathrm{H}}_1\text{，}{\mathrm{H}}_2$とし，四角形$\mathrm{P}{\mathrm{H}}_1{\mathrm{H}}_2\mathrm{Q}$の面積を$S(t)$とおく．

(1)　$S(0)$を求めよ．また，$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$S(t)$の増減を調べて，$S(t)$の最大値と最小値を求めよ．

〔Ｂ〕　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}\sqrt{2x+5}dx$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(\sqrt{{\displaystyle \frac{4k+3n}{n}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{3n-2k}{n}}})$を求めよ．

【２】　$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90\mathrm{°}\text{，}\mathrm{OA}=1$の四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\boxed{\text{①}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OE}}=2$のとき，$\mathrm{OC}=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\boxed{\text{③}}$である．また，$\mathrm{OF}\perp (\text{平面}\mathrm{ABC})$のとき，$\mathrm{OB}=\boxed{\text{④}}\text{，}\mathrm{OC}=\boxed{\text{⑤}}$である．

(3)　$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$とする．$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{OH}=\boxed{\text{⑥}}$である．また，$▵\mathrm{DEF}$の面積は$\boxed{\text{⑦}}$であるから，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は$\boxed{\text{⑧}}$である．

(4)　(3)のとき，直線$\mathrm{DE}$と直線$\mathrm{FH}$の交点を$\mathrm{G}$とする．このとき実数$p\text{，}q$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{HG}}=p\overrightarrow{\mathrm{HF}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DG}}=q\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と表すことができ，$p=\boxed{\text{⑨}}\text{，}q=\boxed{\text{⑩}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，媒介変数$t$を用いて

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^t-e^{-t})\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^t+e^{-t})$

で表された曲線$C$がある．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　導関数${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$t$を用いて表すと，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\boxed{\text{①}}$であるから，曲線$C$に引いた接線のうち，傾きが${\displaystyle \frac{1}{3}}$である接線の方程式は$y=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　曲線$C$の方程式は，$x\text{，}y$を用いて$\boxed{\text{③}}$（ただし，$y>0$）と表される．また，第$2$次導関数${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}$を$y$のみを用いて表すと，${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}}=\boxed{\text{④}}$である．

(3)　曲線$C$上の$x=1$における点$\mathrm{P}$を与える$t$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．このとき，曲線$C$と線分$\mathrm{OP}$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a$を実数とする．$x$の$2$次方程式$x^2+4ax-3a+7=0$の解について，$-2$より小さい解と$-2$より大きい解を$1$つずつもつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{①}}$であり，$2$より大きい$2$つの異なる解をもつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　袋の中に$\boxed{1}$のカードが$1$枚，$\boxed{2}$のカードが$2$枚，$\boxed{3}$のカードが$3$枚入っている．袋から同時に$2$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を記録して袋に戻す操作を$2$回繰り返す．このとき，記録した数字の合計を得点とする．例えば，$1$回目で$\boxed{3}$と$\boxed{3}\text{，}2$回目に$\boxed{2}$と$\boxed{3}$のカードを取り出した場合，得点は$11$点である．得点が$11$点となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．また，得点が$8$点以上となる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$\theta$の関数$f(\theta )=\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})+\cos (\theta +\pi )\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$がある．$f(0)=\boxed{\text{⑤}}$であり，方程式$f(\theta )=0$を解くと，$\theta =\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}-a_n={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{⑦}}$であり，$b_1=4\text{，}{b}_2=20\text{，}{b}_{n+2}-8b_{n+1}+16b_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(1-{\displaystyle \frac{1}{2}})(1-{\displaystyle \frac{1}{3}})(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{n-1}})(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})=\boxed{\text{⑨}}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }(1-{\displaystyle \frac{1}{2^2}})(1-{\displaystyle \frac{1}{3^2}})(1-{\displaystyle \frac{1}{4^2}})\cdots \{1-{\displaystyle \frac{1}{{(n-1)}^2}}\}(1-{\displaystyle \frac{1}{n^2}})=\boxed{\text{⑩}}$である．