2015　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　$a$を実数とし，$3$次関数

$f(x)=x^3+a{x}^2-a^{2}x+a$

を考える．方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つための$a$の条件を求めよ．

【２】　座標空間内に長さが$1$の$3$つのベクトル

$\overrightarrow{a}=(1,0,0)\text{，}\overrightarrow{b}=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}\overrightarrow{c}=(x,y,z)$

がある．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の少なくとも$1$つは$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$以上となることを示せ．

【３】　図のような道がある．図の点$\mathrm{A}$を出発点とし，道に沿って右か上方向に進むものとする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$への行き方は$\boxed{\text{①}}$通りである．

(2)　点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{C}$への行き方は$\boxed{\text{②}}$通りである．

(3)　点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{D}$への行き方は$\boxed{\text{③}}$通りである．

(4)　点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$への行き方は$\boxed{\text{④}}$通りである．

(5)　点$\mathrm{D}$を通らずに点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$へ行く行き方は$\boxed{\text{⑤}}$通りである．

【４】　放物線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{x}^2$は，点$\mathrm{P}(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$と点$\mathrm{Q}(-1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$において円$C_2$と共通接線をもつ．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線の方程式は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　円$C_2$の方程式は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　円$C_2$の中心を$\mathrm{R}$とするとき，$\angle \mathrm{PRQ}=\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$C_1$と$C_2$により囲まれる部分の面積は$\boxed{\text{⑤}}$である．