2015　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=9$とする．このとき，$\cos A=\boxed{\text{ア}}\text{，}\sin A=\boxed{\text{イ}}$である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$外接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$であり，内接円の半径は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$個のサイコロ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を同時に投げて，サイコロ$\mathrm{A}$の出た目を$a\text{，}$サイコロ$\mathrm{B}$の出た目を$b$として，$2$次関数$f(x)=x^2+2ax+b$をつくる．このとき，できうる$2$次関数$f(x)$は全部で$\boxed{\text{カ}}$通りある．またこのとき，$f(1)$の値が偶数となるような確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$f(x)$の最小値が$2$以上となるような確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$y=f(x)$のグラフが$x$軸と共有点をもつような確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．さらに$2$次方程式$f(x)=0$が$-3$より小さい解と大きい解を$1$つずつもつような確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$k$を実数とする．$xy$平面において，方程式

$x^2-4x+y^2-2y-k-2=0\cdots \text{①}$

が円を表すとき，$k$の取り得る値の範囲は$k>\boxed{\text{ア}}$である．$k>\boxed{\text{ア}}$とし，$\text{①}$が表す円を$C\text{，}$直線$y=kx+3$を$l$とする．直線$l$が円$C$に接するとき，$k$の値は$k=\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}$である．ただし，$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$とする．$k=\boxed{\text{ウ}}$のとき，$C$と$l$の接点を$\mathrm{P}\text{，}$点$(0,3)$を$\mathrm{A}$とすると${\mathrm{AP}}^2=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められている．

$a_1=60\text{，}(2n-1)a_{n+1}-(2n+1)a_n=5(1-4n^2)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{2n-1}}$とおくと，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{カ}}$である．したがって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{キ}}$であり，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=\boxed{\text{ク}}$である．また，$a_n=0$となる$n$の値は$n=\boxed{\text{ケ}}$であるから，$S_n=S_{n+1}$となる$n$の値は$n=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$t\text{，}a$は実数とし，$a>0$とする．$xy$平面において，放物線$C\text{：}y=3x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(t,3t^2)\text{，}\mathrm{B}(t+a,3{(t+a)}^2)$を通る直線を$l\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$C$と$l$で囲まれる図形の面積$S$が$4$であるとするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$を積分を用いて表し，$a$の値を求めよ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{P}$の軌跡を$D$とする．放物線$C$と直線$y=3$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}C$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}$で囲まれた図形の面積を$S_2\text{，}D$と直線$y=3$で囲まれた図形の面積を$S_3$とするとき，$S_1-S_2-S_3$を求めよ．