2016　北見工業大学　後期MathJax

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　点$(1,2)$を通り直線$x+3y-1=0$に垂直な直線の方程式は$\boxed{\text{(ⅰ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　$\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数は$\boxed{\text{(ⅱ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　不等式$|x^2-6|+x\geqq 0$をみたす$x$の範囲は$\boxed{\text{(ⅲ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　$x^3+ax+2$を$x-1$で割ると$3$余る．このとき$a=\boxed{\text{(ⅳ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　$2016$の正の約数すべての和は$\boxed{\text{(ⅴ)}}$である．なお，$1$や$2016$自身も約数であることに注意．また，$2016$の正の約数すべての和は$\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^k\right)\times \left({\displaystyle \sum _{l=0}^b}{3}^l\right)\times \left({\displaystyle \sum _{m=0}^c}{7}^m\right)$という形の式で計算できる．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<\pi$とする．$\sin x=0.6$のとき$\sin 2x=\boxed{\text{(ⅵ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{h}{\tan 2(x+h)-\tan 2x}}=\boxed{\text{(ⅶ)}}$

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　$1$と書かれたカードが$1$枚，$2$と書かれたカードが$2$枚，$3$と書かれたカードが$3$枚，$4$と書かれたカードが$4$枚ある．これら$10$枚のカードを横一列に並べて$10$桁の数を作る．この方法で作られる$10$桁の数は全部で$\boxed{\text{(ⅷ)}}$個ある．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t^2+at+b)dt$が$x=1$と$x=2$で極値をとるとき，$a=\boxed{\text{(ⅸ)}}\text{，}b=\boxed{\text{(ⅹ)}}$である．

【１】　以下の(ⅰ)〜(ⅺ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　「$x^2-y^2\geqq 0$」は「$x-y\geqq 0$」であるための$\boxed{\text{(ⅺ)}}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1-x^2}dx$および${\displaystyle {\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1}\sqrt{1-x^2}dx$を求めよ．（$x=\sin \theta$とおけ．）

(2)　点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を中心とする半径$1$の円$C$の方程式を求め，円$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(3)　円$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,1,-1)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}\mathrm{P}(t,0,t-{\displaystyle \frac{1}{3}})$がある．ただし$t$は実数で$0\leqq t\leqq 1$とする．次の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．ただし，$s$は実数で$0<s<1$とする．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$が直交するとき$t$を$s$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{PAB}$が二等辺三角形になるとき$t$の値を求めよ．

【４】　以下の文を読み，その中にある問に答えよ．

　$0$以上の整数$n$が平方数であるとは，$0$以上のある整数$k$があって$n=k^2$となることである．つまり，$0$以上のある整数の$2$乗となっている，ということである．例えば，$0\text{，}1\text{，}4\text{，}9$は$0=0^2\text{，}1=1^2\text{，}4=2^2\text{，}9=3^2$となるので平方数である．$10$以下の平方数はこれらに限る．

　自然数は$0$から$9$までの数字を並べて表現できるが，それらの数字を右から「$1$桁目」，「$2$桁目」，「$3$桁目」$\cdots$などと呼ぶことにしよう．たとえば，$2904675$という自然数では，$1$桁目が$5\text{，}2$桁目が$7\text{，}3$桁目が$6\text{，}4$桁目が$4$となる．

　自然数$n=a_k{a}_{k-1}{a}_{k-2}\cdots a_3{a}_2{a}_1$を考える．ここで$a_i$は$n$の$i$桁目の数であり$0$から$9$の数字のどれかである．ただし，このように書いたときには，最高桁の数$a_k$は$0$ではないとする．というのは，例えば，$231$という自然数を$0231$とは書かないからである．

　$k\geqq j\geqq i\geqq 1$のとき，$n=a_k{a}_{k-1}{a}_{k-3}\cdots a_2{a}_2{a}_1$の$i$桁目から$j$桁目までのすべての数の積を$n$の$(j,i)$積と呼び，$c(j,i)$という記号で表すことにする．$j=i$のときは$(i,i)$積は単に$i$桁目の数$a_i$である．

　例えば，$n=2904675$のとき，$n$の$(4,1)$積は$c(4,1)=4\times 6\times 7\times 5=840$である．$(6,4)$積は$c(6,4)=9\times 0\times 4=0$である．また，$(2,2)$積は$c(2,2)=7$である．

　さて，$n$を$16$桁の自然数とする．$i$桁目の数を$a_i$とすると，

$n=a_{16}{a}_{15}\cdots a_3{a}_2{a}_1$

と書ける．$a_i$は$0\leqq a_i\leqq 9$となる整数だが，$a_{16}$は$0$ではないとする．

　一般に，$16$桁の自然数について，次の定理が成り立つ．

　例えば，

$\mathrm{1234,5678,9098,7654}$

という$16$桁の自然数を考える．ここでは見やすくするために，$4$桁ごとにコンマを入れてある．

　$0\text{，}1\text{，}4\text{，}9$はそれ自体が平方数なので，これらが$1$つでもあれば，定理の主張が成立していることになる．例えば上の$16$桁の数の場合，$c(1,1)=4\text{，}c(6,6)=9\text{，}c(7,7)=0$などは平方数である．

　そこで，これらの数を含まない次の$16$桁の数を見てみよう．

$\mathrm{2356,7885,6537,2356}$

　ここでは，$c(11,10)=8\times 8$であり平方数である．つまり，同じ数が連続していれば，定理の主張は成立することになる．同じ数が$2$つ連続していない次のような数を考えてみよう．

$\mathrm{2356,7685,6537,2536}$

　この数に対しては，

$c(10,6)=8\cdot 5\cdot 6\cdot 5\cdot 3=2^4{3}^2{5}^2={(2^2{3}^1{5}^1)}^2$

は平方数である．また，

$c(13,5)=6\cdot 7\cdot 6\cdot 8\cdot 5\cdot 6\cdot 5\cdot 3\cdot 7=2^6{3}^4{5}^2{7}^2={(2^3{3}^2{5}^1{7}^1)}^2$

は平方数である．さらに，

$c(14,1)=5\cdot 6\cdot 7\cdot 6\cdot 8\cdot 5\cdot 6\cdot 3\cdot 7\cdot 2\cdot 5\cdot 3\cdot 6=2^6{3}^6{5}^4{7}^2={(2^4{3}^3{5}^2{7}^1)}^2$

もまた平方数である．

　定理が主張することは，どんな$16$桁の数であっても，平方数となるようなある$(j,i)$積が必ず存在する，ということであり，以下ではそれを証明する．

$n=a_{16}{a}_{15}\cdots a_3{a}_2{a}_1$

を$16$桁の数とする．各桁の数$a_i$の中に$1$つでも$0\text{，}1\text{，}4\text{，}9$のどれかがあれば，それ自体が平方数なので，定理の主張は成立する．そこでそれ以外の場合について考えよう．それ以外の場合とは，$n$の各桁の数はすべて$2\text{，}3\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8$のどれかである，ということである．各桁の素因数は$2\text{，}3\text{，}5\text{，}7$という$4$個の素数のどれかなので，$n$のどんな$(j,i)$積をとっても，これらの素数の積になる．

　$1\leqq i\leqq 16$となる$i$に対して，

$n_i=c(i,1)$

とおく．つまり，$n_i$は$a_1$から$a_i$までの数をすべてかけたものである．$n_i$の素因数も$2\text{，}3\text{，}5\text{，}7$のどれかなので，

$n_i=2^{p_i}{3}^{q_i}{5}^{r_i}{7}^{s_i}$

の形に素因数分解される．ここで，$p_i\text{，}{q}_i\text{，}{r}_i\text{，}{s}_i$は$0$以上の整数である．

　$2\text{，}3\text{，}5\text{，}7$の指数$(p_i,q_i,r_i,s_i)$に注目してみよう．各$p_i\text{，}{q}_i\text{，}{r}_i\text{，}{s}_i$は偶数であるか奇数であるかのどちらかである．なお$0$は偶数である．$p_i\text{，}{q}_i\text{，}{r}_i\text{，}{s}_i$が偶数であるか奇数であるかに応じて，「偶」と「奇」を並べたパターンが得られる．例えば，$\{p_i,q_i,r_i,s_i\}$が$\{4,3,2,2\}$ならば，これらに対する偶奇のパターンは$\{\text{偶},\text{奇},\text{偶},\text{偶}\}$となる．このパターンは全部で$2^4=16$通りある．

　一般に$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$が$0$以上の偶数のとき，$n=2^p{3}^q{5}^r{7}^s$は平方数となる．

　このことから，ある$i$で$\{p_i,q_i,r_i,s_i\}$のすべてが偶数ならば，$n_i=c(i,1)$は平方数となる．従って，この場合には定理の主張が成り立つことになる．

　そこで，それ以外の場合を考えよう．すなわち，すべての$n_i$について，$\{p_i,q_i,r_i,s_i\}$は「すべてが偶数」以外のパターンであるとする．「すべてが偶数」以外のパターンは全部で$15$通りである．$n_i$は$n_1$から$n_{16}$まで全部で$16$個あるので，この中には全く同じ偶奇のパターンをもつ$2$つの数が必ず存在することになる．そのような$2$つの数を$n_j\text{，}{n}_i$としよう．ここで$j>i$とする（$j\geqq i+1$に注意）．

　${\displaystyle \frac{n_j}{n_i}}=c(j,i+1)$であるので，${\displaystyle \frac{n_j}{n_i}}=c(j,i+1)$の素因数分解はやはり$2^p{3}^q{5}^r{7}^s$の形をしている．

　$c(j,i+1)={\displaystyle \frac{n_j}{n_i}}=2^p{3}^q{5}^r{7}^s$の指数$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$はすべて$0$以上の偶数なので，$c(j,i+1)$は平方数である．連続した桁の数の積で平方数となるものが必ず存在することが示されたので，定義が証明された．