2016　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\mathrm{B}$チームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$引き分けとなる確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\mathrm{BC}=30\text{，}\mathrm{CA}=26\text{，}\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{5}{13}}\text{，}$

$\mathrm{OA}=18\text{，}\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}=90\mathrm{°}$

であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}\left|\overrightarrow{b}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=6$

であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$s$で表せ．

(3)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．

(2)　$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．

(3)　$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．

【４】　曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,0)$における接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$p$を実数とし，点$(p,q_1)$は接線$l$上にあり，点$(p,q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．

(3)　接線$l$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S\text{，}$大きい方を$T$とするとき，${\displaystyle \frac{T}{S}}$の値を求めよ．

【２】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=6$

であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$および$s$で表せ．

(3)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および $\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．

(2)　$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．

(3)　$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．

(4)　(3)で定めた$x_m$に対し，$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき，自然数$n$に対して、${\displaystyle \sum _{m=1}^n}{(3x_m+y_m)}^2$を$n$で表せ．

【５】　$a$を定数とし，曲線$y=e^x-a(x-2)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$と$x$軸の接点の$x$座標，および定数$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,-1,-1)\text{，}\overrightarrow{b}=(2,1,-2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$1\leqq x\leqq 27$のとき，関数$y={({\log }_{3}x)}^2-{\log }_3{x}^2-3$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　複素数平面上で，点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき，残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【３】　$a\text{，}b$を定数とし，関数$f(x)=\sin 2x+a\cos x+b$とする．$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\sqrt{3}$とするとき次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\pi }{2}},f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right)$における法線が，点$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\sqrt{3},0)$を通るとき，$a\text{，}b$の組をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた$a\text{，}b$で定められる$f(x)$のうち，$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$で極値をとるものについて考える．このとき$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲において，$f(x)$のすべての極値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$が，

$a_1=1\text{，}{\displaystyle \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$とする．

(1)　数列$\{b_n\}$が$b_n={\displaystyle \frac{1}{{a_n}^2}}$で与えられるとき，$b_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4$の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　不等式${\displaystyle {\int }_1^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$が成り立つことを示せ．

【５】　関数$F(x)$と連続関数$f(t)$の関係が

$F(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t)dt$

で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)=e^t-e^{-t}$のとき，$F(x)$を求めよ．

(2)　$2$つの連続関数$g(t)\text{，}h(t)$において，$g(-t)=g(t)\text{，}h(-t)=-h(t)$が常に成り立つとする．$f(t)=g(t)+h(t)$とするとき，$F^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　$f(t)=t^2-1+(e^t-e^{-t})\cos t$のとき，$x>0$における$F(x)$の最小値を求めよ．

【５】　放物線$y=x^2$と円$x^2+{(y-3)}^2={\displaystyle \frac{r^2}{4}}$について，次の問いに答えよ．ただし，$r$は正の定数である．

(1)　$r=6$のとき，放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ．

(2)　$r$がすべての正の実数値をとって変化するとき，放物線と円の共有点の個数はどのように変わるか，調べよ．