2016　東北大学　前期MathJax

【１】　平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2)\text{，}\mathrm{C}(-1,1)$を考える．実数$s\text{，}t$に対し，点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}t$が条件

$-1\leqq s\leqq 1\text{，}-1\leqq t\leqq 1\text{，}-1\leqq s+t\leqq 1$

を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が(1)で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=-2\left|x\right|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$を実数とする．関数$y=-2|x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．

(3)　(2)で求めた領域$D$の面積を求めよ．

【３】　ある工場で作る商品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$はネジをそれぞれ$7$個，$9$個，$12$個使っている．出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ，ネジが全部で$54$個あった．残った部品$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の個数をそれぞれ$l\text{，}m\text{，}n$として，可能性のある組$(l,m,n)$をすべて求めよ．

【４】　鋭角三角形$▵\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から各対辺に垂線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CF}$を下ろす．これらの垂線は垂心$\mathrm{H}$で交わる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{BCEF}$と$\mathrm{AFHE}$が円に内接することを示せ．

(2)　$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADF}$であることを示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$6$以上の整数$n$に対して不等式

$2^n>n^2+7$

が成り立つことを数学的帰納法により示せ．

(2)　等式

$p^q=q^p+7$

を満たす素数の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【３】　サイコロを$3$回振って出た目の数をそれぞれ順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$がある直角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$がある鈍角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．

【４】　多項式$P(x)$を

$P(x)={\displaystyle \frac{{(x+i)}^7-{(x-i)}^7}{2i}}$

により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$P(x)=a_0{x}^7+a_1{x}^6+a_2{x}^5+a_3{x}^4+a_4{x}^3+a_5{x}^2+a_{6}x+a_7$とするとき，係数$a_0\text{，}\cdots \text{，}{a}_7$をすべて求めよ．

(2)　$0<\theta <\pi$に対して，

$P\left({\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sin \theta }}\right)={\displaystyle \frac{\sin 7\theta }{{\sin }^7\theta }}$

が成り立つことを示せ．

(3)　(1)で求めた$a_1\text{，}{a}_3\text{，}{a}_5\text{，}{a}_7$を用いて，多項式$Q(x)=a_1{x}^3+a_3{x}^2+a_{5}x+a_{\mathrm{}}$を考える．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$として，$k=1\text{，}2\text{，}3$について

$x_k={\displaystyle \frac{{\cos }^{2}k\theta }{{\sin }^{2}k\theta }}$

とおく．このとき，$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し，$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ．

【５】　空間内に，直線$l$で交わる$2$平面$\alpha \text{，}\beta$と交線$l$上の$1$点$\mathrm{O}$がある．さらに，平面$\alpha$上の直線$m$と平面$\beta$上の直線$n$を，どちらも点$\mathrm{O}$を通り$l$に垂直にとる．$m\text{，}n$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，

$\mathrm{OP}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{OQ}=2\text{，}\mathrm{PQ}=1$

であるとする．線分$\mathrm{PQ}$上の動点$\mathrm{T}$について，$\mathrm{PT}=t$とおく．点$\mathrm{T}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の球$S$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S$の平面$\alpha$による切り口の面積を$S$を用いて表せ．

(2)　$S$の平面$\alpha$による切り口の面積と$S$の平面$\beta$による切り口の面積の和を$f(t)$とおく．$\mathrm{T}$が線分$\mathrm{PQ}$上を動くとき，$f(t)$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【６】　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sin (t-x)-\sin 2t|dt$

の区間$0\leqq x\leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部