2016　福島大学　前期

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　${(a+2b+3c)}^6$の展開式における$a^3{b}^{2}c$の係数を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2\leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　${\log }_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$5^{15}$の桁数を求めなさい．

(ⅱ)　$5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．

【２】　関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする．

(1)　$C$上の点$(t,t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．

(2)　$C$上の$2$点$(t,t^3-t)$および$(s,s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．

(3)　$C$上にない点$\mathrm{A}(a,b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a\text{，}b$がみたす条件を求めなさい．

(4)　(3)の$2$本の接線が直交するときの$a\text{，}b$の値を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　方程式$x^2-2\left|x\right|-3=0$を解きなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい．ただし$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x-10\text{，}y=-3\sqrt{3}x+2$

【３】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の不等式を解きなさい．

${\log }_{\sqrt{2}}(x-1)\leqq 1+{\log }_2(x+1)$

【３】　次の問いに答えなさい．

(4)　$0\mathrm{°}\leqq x\leqq 360\mathrm{°}$とするとき$\sin (x+50\mathrm{°})+\cos (x+20\mathrm{°})$の最大値と，そのときの$x$を求めなさい．

【４】　次の方程式で表される二つの直線$l_1\text{，}{l}_2$を考える．

$l_1\text{：}(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$

$l_2\text{：}ax-y-1=0$

(1)　$l_1$は$a$の値によらず定点を通る．この定点の座標を求めなさい．

(2)　$a$が実数全体を動くときの，$l_1$と$l_2$の交点の軌跡を求めなさい．

【５】　二つの実数$\alpha \text{，}\beta$について，

$m(\alpha ,\beta )=\{\begin{array}{cc}\beta & \text{（}\alpha \geqq \beta \text{のとき）}\\ \alpha & \text{（}\alpha <\beta \text{のとき）}\end{array}$

と定め，また

$M(\alpha ,\beta )=\alpha +\beta -m(\alpha ,\beta )$

とする．

　$a\text{，}b$を実数として関数$f(x)\text{，}g(x)$を次で定めるとき，以下の問いに答えなさい．

$f(x)=-{(x-a)}^2+b\text{，}g(x)=M(0,x^2-1)$

(1)　関数$y=g(x)$のグラフの概形をかきなさい．

(2)　すべての実数$x$について

$m(f(x),g(x))=f(x)$

が成り立つような$(a,b)$の範囲を図示しなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の極限を求めなさい．

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)})$

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　複素数平面上の$2$点$\alpha =4-2i\text{，}\beta =3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　点$\alpha$を点$\beta$の周りに$30\mathrm{°}$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．

(ⅱ)　${\beta }^6$の値を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．

【４】　二つの楕円

$x^2+3y^2=4\text{，}3x^2+y^2=4$

で囲まれた図形のうち，右の図の網かけ部分として示された，原点を含む部分を$D$とする．

(1)　$D$を$x$軸のまわりに回転してできる図形の体積を求めなさい．

(2)　$D$の面積を求めなさい．

【５】　$n$を自然数とし，$a_n=\cos n\theta \text{，}{b}_n=\sin n\theta$とする．

(1)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}\cos \theta \text{，}\sin \theta$を用いて表しなさい．

(2)　$a_{n+2}$を$a_{n+1}\text{，}{a}_n\text{，}\cos \theta$を用いて表しなさい．

(3)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき$\cos 5\theta$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の方程式を解きなさい．

$\sqrt{5-2x}-x+2=0$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の不等式を満たす$t$の範囲を${\log }_{10}2$を用いて求めなさい．

${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{\frac{t}{30}}<{\displaystyle \frac{1}{10}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の関数を微分しなさい．

$y=x^2{\log }_{e}x$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　次の定積分の値を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}dx$

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　連立不等式$\{\begin{array}{l}y\leqq -x^2+4\\ y\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1\end{array}$の表す領域を図示しなさい．

(2)　点$(x,y)$が(1)の領域を動くとき，$x+y$のとりうる値の最大値と最小値を求めなさい．

【３】　$t$と$t+{\displaystyle \frac{1}{t}}=\sqrt{2}$を満たす数とし，$A_n=t^n+{\displaystyle \frac{1}{t^n}}$（$n$は自然数）とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$A_2\text{，}{A}_3\text{，}{A}_4$の値を求めなさい．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$A_{n+1}$を$A_n\text{，}{A}_{n-1}$を用いて表しなさい．

(3)　$n\geqq 3$のとき，$A_{n+2}$を$A_{n-2}$を用いて表しなさい．

(4)　$A_n$のとりうる値をすべて求めなさい．

【４】　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-pt}\sin tdt$（$p$は正の定数）とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　関数$F(x)$を微分しなさい．

(2)　関数$y=A{e}^{-px}\cos x+B{e}^{-px}\sin x+C$（$A\text{，}B\text{，}C$は定数）を微分しなさい．

(3)　$F(x)=A{e}^{-px}\cos x+B{e}^{-px}\sin z+C$（$A\text{，}B\text{，}C$は定数）と表すことができる．このとき，$A\text{，}B\text{，}C$の値を求めなさい．

　ただし，$F(0)\text{，}{F}^{\prime }(0)\text{，}{F}^{\prime }\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$の値を用いてよい．

(4)　$T_n=|F(n\pi )-F((n-1)\pi )|\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき，$T_1\text{，}{T}_2$の値を求めなさい．

(5)　(4)の$T_n$に対して${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{T}_n$を求めなさい．