2016　茨城大学　前期MathJax

【１】　座標平面上において，円$C\text{：}{x}^2-4x+y^2+6y-12=0$上の点$(5,1)$における接線を$l_1$とし，点$(1,-1)$を通り，直線$l_1$に垂直な直線を$l_2$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$2$直線$l_1$と$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l_2$が円$C$によって切りとられてできる線分の長さを求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を実数として，座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(3,1,3)\text{，}\mathrm{B}(2,3,2)\text{，}\mathrm{C}(3,3,1)\text{，}\mathrm{D}(2,a,b)$がある．ただし，$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$は異なる$2$点とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面を$T$とし，$T$上にあって$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円を$U$とする．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$が平面$T$上にあるとき，$a$と$b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．

(2)　点$\mathrm{D}$が円$U$の周上にあるとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とする．座標平面上において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2\\ y\leqq x+n(n+1)\end{array}$

の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．

(1)　領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が正であるものの個数$M$を$n$を用いて表せ．

(2)　領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が負であるものの個数を$N$とする．(1)で求めた$M$に対して$M-N\geqq 1000$となるような最小の$n$を求めよ．

【４】　$m$を実数とする．$2$つの関数

$f(x)=2|x(x-3)|\text{，}g(x)=mx+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

について，次の各問に答えよ．

(1)　方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ．

(2)　$m$は(1)で求めた値のうち最大のものとする．関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　$a$を定数とし，関数$f(x)=(x-a)e^{\frac{x^2}{2}}$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

(4)　(3)で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える．すべての実数の中で，そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ．

【２】　$t$を$0\leqq t\leqq 1$を満たす実数とし，関数$f(x)=|\cos x-t|(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を$\alpha$とする．また，$C$と$x$軸，$y$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$D$を図示せよ．

(2)　$S$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．

(4)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．

【３】　複素数平面上で，複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す．$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(1)\text{，}\mathrm{B}(\beta )$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．ただし，複素数$\beta$の偏角$\theta$は，$0<\theta <\pi$を満たすとする．また，$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする．等式

${\beta }^2-t\beta +s=0$

が成り立つとき，以下の各問に答えよ．

(1)　複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．

(2)　複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が${\displaystyle \frac{1}{4}}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$について，傾きが$1$である接線を$l$とする．$C$と$l$との接点の座標を求めよ．

(2)　実数$\alpha \text{，}\beta$が$0<\alpha <\beta <1$を満たすとき，$2$つの実数${\displaystyle \frac{e^{\alpha }-\alpha }{\alpha }}$と${\displaystyle \frac{e^{\beta }-\beta }{\beta }}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{e-1}}x\log (x+1)dx$を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　不等式${\log }_{x}y>0$の表す領域を座標平面上に図示せよ．

(2)　不等式${\log }_{y}x<{\log }_{x}y$の表す領域を座標平面上に図示せよ．

【３】　$a$を実数の定数とする．$f(x)=x^3-a{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}(a^2-4)x$とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)　定数$a$の値にかかわらず関数$y=f(x)$は必ず極値をもつことを証明せよ．

(2)　$3$次方程式$f(x)=0$が$-1<x<2$の範囲に相異なる$3$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{\sqrt{3}+i}}$のとき，以下の各問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$\alpha$の絶対値を$r\text{，}$偏角を$\theta$とする．$r$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　${\alpha }^{20}$を計算せよ．

(3)　複素数平面上で複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{P}(z)$と表す．点$\mathrm{A}({\alpha }^{20})\text{，}\mathrm{B}({\alpha }^{36})\text{，}\mathrm{C}(\beta )$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある．このとき，複素数$\beta$をすべて求めよ．