2016　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，

${\displaystyle \frac{2}{\pi }}x\leqq \sin x\leqq x$

となることを示せ．

(2)

$\underset{R\to \infty }{\lim }{R}^a{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-R\sin x}dx=0$

となる実数$a$の範囲を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}A\text{，}B$は実数で，$a\ne b$とする．等式

${\displaystyle \frac{1}{(x-a)(x-b)}}={\displaystyle \frac{A}{x-a}}+{\displaystyle \frac{B}{x-b}}$

が，$a\text{，}b$以外のすべての実数$x$について成り立つとき，$A\text{，}B$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}7$以外の実数$x$に対して，

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{(x-1)(x-3)}}+{\displaystyle \frac{4}{(x-7)(x-3)}}-{\displaystyle \frac{5}{(x-7)(x-2)}}$

とおく．$f(x)<0$となる$x$の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた範囲に，$|f(x)|$が$2016$以下の自然数になるような$x$はいくつあるか．

【３】　$n\text{，}m\text{，}N$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C_n=2{\displaystyle {\int }_0^1}x\sin (n\pi x)dx$を求めよ．

(2)　次を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^1}\sin (n\pi x)\sin (m\pi x)dx=\{\begin{array}{ll}0& \text{（}m\ne n\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{（}m=n\text{）}\end{array}$

(3)　次を示せ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\{x-{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{C}_n\sin (n\pi x)\}}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{C_n}^2$

(4)　${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\leqq {\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$を証明せよ．